【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第10章-第2节-用样本估计总体.docx

第十章　其次节

一、选择题
1．一个样本容量为9的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的中位数是(　　)
A．12　 B．13　 　　
C．14　 D．15
[答案]　A
[解析]　设等差数列的公差为d，据题意由a＝a1a7，得82＝(8－2d)(8＋4d)(d≠0)，解得d＝2，即an＝2n＋1，数列为单调递增的数列，且样本容量为9，故其中位数即为a5＝2×5＋2＝12.
2．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　)
A．众数 B．平均数　　
C．中位数 D．标准差
[答案]　D
[解析]　A的众数88，B的众数为88＋2＝90.
“各样本都加2”后，平均数明显不同．A的中位数＝86，B的中位数＝88，而由标准差公式S＝知D正确．
3．(文)如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则确定有(　　)
A．a1>a2　 B．a2>a1
C．a1＝a2 D．a1、a2的大小不确定
[答案]　B
[解析]　由于去掉一个最高分和一个最低分，则甲去掉70和(90＋m)，乙去掉79和93，故a1＝(1＋5×3＋4)＋80＝84，a2＝(4×3＋6＋7)＋80＝85，∴a2>a1.
(理)(2021·六安一模)如图是2022年某校举办“激扬青春，勇担责任”演讲竞赛上七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和平均数分别为(　　)
7
9
8
4　4　4　6　7
9
3
A.85　87 B．84　86　　
C．84　85 D．85　86
[答案]　C
[解析]　由茎叶图知，评委为某选手打出的分数分别是79,84,84,84,86,87,93，去掉一个最高分和一个最低分后分数分别是84,84,84,86,87，所以中位数为84，平均数为×(84＋84＋84＋86＋87)＝85.
4.(2022·广州“十校”第一次联考)学校为了解同学在课外读物方面的支出状况，抽取了n名同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单位：元)，其中支出在[30,50)(单位：元)的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为(　　)

A．100 B．120　　
C．130 D．390
[答案]　A
[解析]　支出在[30,50)的同学的频率为1－(0.01＋0.023)×10＝0.67，n＝＝100.
5．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则(　　)
甲

乙
8　6　5
0

8　8　4　0　0
1
0　2　8
7　5　2
2
0　2　3　3　7
8　0　0
3
1　2　4　4　8
3　1
4
2　3　8
A.甲<乙，m甲>m乙 B．甲<乙，m甲乙，m甲>m乙 D．甲>乙，m甲12,18,20,22,23,23,27,31,32,34,34,38,42,43,48.
甲＝，乙＝，m甲＝＝20，m乙＝＝29.故选B.
6．(2022·长春其次次调研)如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网状况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民毁灭的频率为(　　)

A．0.04 B．0.06　　
C．0.2 D．0.3
[答案]　C
[解析]　由于分布在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，分布在[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，所以分布在[30,35)、[35,40)、[40,45]的频率之和为1－0.05－0.35＝0.6，又由于年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，由等差数列的性质可得年龄在[35,40)的网民毁灭的频率为0.2.
二、填空题
7．某校高中一班级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名同学的学分，用茎叶图表示(如图)．S1、S2分别表示甲、乙两班各自5名同学学分的标准差，则S1________S2.(填“>”、“<”或“＝”)
甲　 　　乙
8
0
6　7
5　4　1
1
0
2
2
4　8
[答案]　<
[解析]　甲＝(8＋11＋14＋15＋22)＝14，乙＝(6＋7＋10＋24＋28)＝15，S＝[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，S＝[(6－15)2＋(7－15)2＋(10－15)2＋(24－15)2＋(28－15)2]＝84，∴S1＝，S2＝2，∴S1六
答对率
80%
70%
60%
50%
40%
30%
则此次调查全体同学的平均分数是________分．
[答案]　66
[解析]　假设全校人数有x人，则每道试题答对人数及总分分别为
题号
一
二
三
四
五
六
答对人数
0.8x
0.7x
0.6x
0.5x
0.4x
0.3x
每题得分
16x
14x
12x
10x
8x
6x
所以六个题的总分为66x，所以平均分为＝66.
9．(文)(2022·江苏)为了解一片经济林的生长状况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.

[答案]　24
[解析]　由题意知在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.
(理)(2022·广东东莞一模)某中学为了解同学数学课程的学习状况，在3000名同学中随机抽取200名，并统计这200名同学的某次数学考试成果，得到了样本的频率分布直方图(如图)．依据频率分布直方图推想，这3000名同学在该次数学考试中成果小于60分的同学数是________．

[答案]　600
[解析]　成果小于60分的同学频率为：(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，
故3000名同学中成果小于60分的同学数为：3000×0.2＝600.
三、解答题
10．(文)(2022·豫东、豫北十所名校五模)某中学聘请老师有笔试、面试两个环节，笔试成果超过85分者才能进入面试环节，现已记录前来应聘的9位男老师和9位女老师的笔试成果，成果用茎叶图表示如下：

男

女

9
6
2

8
7
7
1
3
6
7
6
9
8
3
7
4
2
4
5
9
5
3

(1)求男老师的平均成果和女老师成果的中位数；
(2)从进入面试环节的老师中随机选择2位老师，求2位老师中至少有一位男老师的概率．
[解析]　(1)男老师的平均成果为
≈85.2.
女老师成果的中位数为83.
(2)能进入面试环节的男老师有6位，女老师有3位，记满足条件的6位男老师分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，满足条件的3位女老师分别为b1，b2，b3，
则从中任取2人的状况有：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)；
(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，a6)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)；
(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)；
(a4，a5)，(a4，a6)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a4，b3)；
(a5，a6)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a5，b3)；
(a6，b1)，(a6，b2)，(a6，b3)；
(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，
即基本大事共有36个，
至少有一位男老师的的基本大事有33个，
故2位老师中至少有一位男老师的概率P＝＝.
(理)某学院为了调查本校同学2021年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两小时)的天数状况，随机抽取了40名本校同学作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)依据频率分布直方图，求这40名同学中健康上网天数超过20天的人数；
(2)现从这40名同学中任取2名，设Y为取出的2名同学中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及其数学期望E(Y)．
[解析]　(1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，
∴健康上网天数超过20天的同学人数是
40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.
(2)随机变量Y的全部可能取值为0,1,2.
P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝.
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
P

∴E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.

一、选择题
11．(文)样本容量为100的频率分布直方图如图所示，依据样本的频率分布直方图估量，样本数据落在[2,10)内的频率为a，则a的值为(　　)

A．0.1　　 　 B．0.2　　 　
C．0.3　　 　 D．0.4
[答案]　D
[解析]　样本数据落在[2,10)内的频率为a＝(0.02＋0.08)×4＝0.4.
(理)已知样本：10　8　6　10　13　8　10　12　11　7　8　9　11　9　12　9　10　11　12　12
那么频率为0.3的范围是(　　)
A．5.5～7.5 B．7.5～9.5
C．9.5～11.5 D．11.5～13.5
[答案]　B
[解析]　样本容量为20，频率若为0.3，则在此组的频数应为20×0.3＝6.
列出频率分布表如下：
分组
频数
频率
(5.5,7.5)
2
0.1
(7.5,9.5)
6
0.3
(9.5,11.5)
7
0.35
(11.5,13.5)
5
0.25
可知选B.
[点评]　解答此类问题，只要数出各小组的频数即可选出答案．
12．(2022·济宁一模)某同学在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此同学该门功课考试分数的极差与中位数之和为(　　)

考试成果
5
6
6
2　3　3　5　6　8　9
7
1　4　6　6　7　8　9　9
8
2　5　7　8
9
5　8
A.117 B．118　　
C．118.5 D．119.5
[答案]　B
[解析]　由上图可知，最小值为56，最大值为98，故极差为42，又从小到大排列，排在第11,12位的数为76,76，所以中位数为76，所以极差和中位数之和为42＋76＝118.选B.
13．(2021·皖南八校联考)已知某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为S2，则(　　)
A.＝5，S2<2 B．＝5，S2>2
C.>5，S2<2 D．>5，S2>2
[答案]　A
[解析]　＝＝5，S2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x8－)2＋(5－5)2]＝(8×2＋0)＝<2.
[点评]　一组数据的平均数为a，若再加入一个新数据a，则这组数据的平均数不变，方差变小．
14．(文)(2022·天津模拟)甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5次得分状况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为甲、乙，则下列推断正确的是(　　)
甲

乙
6　7
7
5
8
8
8　6　8
2　0
9
3
A.甲<乙，甲比乙成果稳定
B.甲<乙，乙比甲成果稳定
C.甲>乙，甲比乙成果稳定
D.甲>乙，乙比甲成果稳定
[答案]　B
[解析]　易知：甲＝88＋＝84.6，
乙＝88＋＝86，
所以甲<乙；又由图可以看出乙的成果较为稳定．
(理)(2022·济南模拟)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势状况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和中位数y甲，y乙进行比较，下面结论正确的是(　　)
甲

乙
9
1
0
9 5 3 1 0
2
6
7 3 2
3
0 0 4 7
1
4
4 6 6 7
A.甲>乙，y甲>y乙 B．甲<乙，y甲y乙 D．甲>乙，y甲差最小，则这两个数的和等于24且(xi－)2的和最大，所以这两个数为3与21，故剔除的2个数据的积等于3×21＝63.
三、解答题
16．(2022·中原名校联考)某市训练主管部门为了弘扬民族文化，在全市各中学开展汉字听写大赛，某学校经过七轮选拔，最终选出甲乙两名选手代表本校参与市里竞赛，甲乙两名选手七轮竞赛得分状况如下表所示：
甲
86
94
89
88
91
90
92
乙
88
89
90
91
93
92
87
(1)依据表中的数据分析，哪位选手成果更为稳定？
(2)从甲选手的7次成果中随机抽取两次成果，求抽出的两次成果的分数差值至少是3分的概率．
[解析]　(1)由题意得
甲＝＝90，
乙＝＝90，
S＝[(86－90)2＋(94－90)2＋(89－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(92－90)2]＝6；
S＝[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2＋(92－90)2＋(87－90)2]＝4；
由于6>4，所以乙选手成果更稳定．
(2)从甲选手的七次成果中随机抽取2次的全部基本大事为：(86,94)，(86,89)，(86,88)，(86,91)，(86,90)，(86,92)，(94,89)，(94,88)，(94,91)，(94,90)，(94,92)，(89,88)，(89,91)，(89,90)，(89,92)，(88,91)，(88,90)，(88,92)，(91,90)，(91,92)，(90,92)共21种状况，
则抽取的两次分数差距至少3分的大事包含：(86,94)，(86,89)，(86,91)，(86,90)，(86,92)，(94,89)，(94,88)，(94,91)，(94,90)，(89,92)，(88,91)，(88,92)共12种状况．
则抽取的两次成果差距至少3分的概率P＝＝.
17．(文)从某校高三班级800名男生中随机抽取50名同学测量其身高，据测量被测同学的身高全部在155cm到195cm之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，其次组[160,165)，……，第八组[190,195]，如下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知：第1组与第8组的人数相同，第6组、第7组和第8组的人数依次成等差数列．
(1)求下列频率分布表中所标字母的值．
分组
频数
频率
频率/组距
…
…
…
…
[180,185)
x
y
…
[185,190)
m
n
…
[190,195)
z
…
p

(2)若从样本身高属于第6组和第8组的全部男生中随机的抽取2名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x－y|≤5大事的概率．
[解析]　(1)由直方图可得前5组的频率是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，∵第8组与第1组的人数相同，∴第8组的频率是0.008×5＝0.04，频数为z＝0.04×50＝2，∴第6、7两组的频率为1－(0.82＋0.04)＝0.14，频数为0.14×50＝7人，∴x＋m＝7，
∵x，m，z成等差数列，∴x＋z＝2m，∴m＝3，x＝4，
从而y＝0.08，n＝0.06，p＝0.008，z＝2.
(2)由(1)知，身高在[180,185)内的人数为4人，设为a，b，c，d，身高在[190,195]内的人数为2人，设为A，B，若x，y∈[180,185)有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种状况；
若x，y∈[190,195]有AB有1种状况，
若x∈[180,185)，y∈[190,195]时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB有8种状况．
所以基本大事总数为6＋1＋8＝15种．
所以，大事“|x－y|≤5”所包含的基本大事为6＋1＝7种，∴P(|x－y|≤5)＝.
(理)(2022·太原五中月考)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．现用A，B两种不同型号的节能灯做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率直方图如下图所示：

若以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．
(1)现从大量的A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；
(2)已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计发觉，A型节能灯每件产品的利润y(单位：元)与使用时间t(单位：千小时)的关系式如下表：
使用时间t(单位：千小时)
t<4
4≤t<6
t≥6
每件产品的利润y(单位：元)
－20
20
40
若从大量的A型节能灯中随机抽取2件，其利润之和记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
[解析]　由频率分布直方图所示，A、B两种产品的使用时间在各个时间段内的频率为：
时间段
[3,4)
[4,5)
[5,6)
[6,7)
[7,8)
A
0.1
0.2
0.2
0.4
0.1
B
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
∴A型号节能灯优质品率为0.5，B型号节能灯优质品率为0.4.
∴P(A)＝，P(B)＝.
(1)从A、B两种型号的节能灯中随机抽取两件产品，恰有两件是优质品的概率是P＝C()1·()1·C()1·()1＋C()2·C()2＋C()2·C()2＝.
(2)由题意知X的可能取值为－40,0,20,40,60,80，
∵P(X＝－40)＝C()2＝，P(X＝0)＝C()1×()1＝，P(X＝20)＝C·()1·()1＝，P(X＝40)＝C()2＝，P(X＝60)＝C()1()1＝，P(X＝80)＝C·()2＝.
∴X的分布列为

X
－40
0
20
40
60
80
P

∴E(X)＝10×(－4×＋0＋2×＋4×＋6×＋8×)＝52.