2021高考数学总复习专题系列——推理与证明.板块二.直接证明与间接证明.学生版.docx

板块二.直接证明与
间接证明

典例分析

题型一：综合法
【例1】 若,则下列结论不正确的是 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

【例2】 假如数列是等差数列，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）

【例3】 在△ABC中若,则A等于( )
(A) (B) (C) (D)

【例4】 下列四个命题：①若,则;②若,则;③若x、yR，满足,则的最小值是；④若a、bR，则。其中正确的是（ ）。
(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④

【例5】 下面的四个不等式：①；②；③ ；④.其中不成立的有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
【例6】 已知且，则在①；②；
③；④这四个式子中，恒成立的个数是 （ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

【例7】 已知均大于1，且，则下列各式中，确定正确的是 （ ）
A B C D

【例8】 已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8

【例9】 、为锐角，，则a、b之间关系为 （ ）
A． 　 B．　　　　 C． D．不确定

【例10】 设M是内一点，且，，定义，其中m、n、p分别是， ，的面积，若，则的最小值是 （ ）
A．8 B．9 C．16 D．18

【例11】 若函数是偶函数，则，（a∈R）的大小关系是　　　　　　.

【例12】 设

【例13】 函数在（0，2）上是增函数，函数是偶函数，则,,的大小关系是 .

【例14】 已知 ，向量的 夹角为，则=
【例15】 定义运算，例如，，则函数的最大值为．

【例16】 若，，且恒成立，则的最大值是 。

【例17】 已知集合M是满足下列条件的函数f（x）的全体：
①当时，函数值为非负实数；
②对于任意的，都有
在三个函数中，属于集合M的是 。

【例18】 给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，，且，则的最小值为9.
其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）

【例19】 如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件 （或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD是正方形、菱形等）时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑全部可能的情形）
图

【例20】 用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充分，则框架的长与宽应为　　　　　　　　　　.

【例21】 若，求证：．

【例22】 若，求证：

【例23】 已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

【例24】 证明：已知：，求证

【例25】 已知求的最大值。

【例26】 设，求证：．

【例27】 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨．

【例28】 在锐角三角形中,求证:

题型二：分析法
【例29】 设，，，则x与y的大小关系为（ ）。
（A）； （B）； （C）； （D）

【例30】 已知，则正确的结论是（ ）。
(A) (B) (C) (D)a、b大小不定

【例31】 设a、b、m都是正整数，且a＜b，则下列不等式中恒不成立的是（ ）。
(A) (B)
(D) (D)

【例32】 已知，且，则不能等于（ ）。
(A)f（1）+2f（1）+…+nf（1） (B)
(C)n（n+1） (D)n（n+1）f（1）

【例33】 的大小关系是__________.

【例34】 在十进制中，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 。

【例35】 设，那么P, Q, R的大小挨次是 。

【例36】 有甲、乙、丙、丁四位歌手参与竞赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖。”乙说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了。”丁说：“是乙获奖。”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是

【例37】 若是△的三边长，求证：

【例38】 △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，
求证：。

【例39】 用分析法证明：若a>0，则。

【例40】 设若函数与的图象关于轴对称，求证为偶函数。

【例41】 自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生力气及捕捞强度对鱼群总量的影响，用表示某鱼群在第年年初的总量，，且＞0.不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数.
（Ⅰ）求与的关系式；
（Ⅱ）猜想：当且仅当，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

【例42】 设函数.
（1）证明：；
（2）设为的一个极值点，证明.

【例43】 已知二次函数,
（1）若且,证明:的图像与x轴有两个相异交点;
（2）证明: 若对,, 且，,则方程必有一实根在区间 (,) 内;
（3）在(1)的条件下,是否存在,使成立时,为正数.

题型三：反证法
【例44】 下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：

3
5
8
9
15

请将错误的一个改正为 =

【例45】 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
( A ) 假设三内角都不大于60°； (B) 假设三内角都大于60°；
(C) 假设三内角至多有一个大于60°； (D) 假设三内角至多有两个大于60°。

【例46】 已知＝2，关于p＋q的取值范围的说法正确的是 （ ）
（A）确定不大于2 （B）确定不大于
（C）确定不小于 （D）确定不小于2

【例47】 否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ( )
（A）有一个解 （B）有两个解 （C）至少有三个解 （D）至少有两个解

【例48】 设大于0，则3个数：，，的值 ( )
（A）都大于2 （B）至少有一个不大于2
（C）都小于2 （D）至少有一个不小于2

【例49】 已知α∩β＝l，aα、bβ，若a、b为异面直线，则 ( )
（A） a、b都与l相交 （B） a、b中至少一条与l相交
（C） a、b中至多有一条与l相交 （D） a、b都与l相交

【例50】 用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是（ ）
A、假设三内角都不大于60度； B、 假设三内角都大于60度；
C、假设三内角至多有一个大于60度；D、 假设三内角至多有两个大于60度。

【例51】 命题“关于x的方程的解是唯一的”的结论的否定是 （ ）
A、无解 B、两解 C、至少两解 D、无解或至少两解

【例52】 用反证法证明命题“假如那么”时，假设的内容应为_____________.

【例53】 用反证法证明“，求证：中至少有一个不小于”时的假设为

例54】 用反证法证明“若＞0，则 ”时的假设为

【例55】 用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是

【例56】 证明：不能为同一等差数列的三项.

【例57】 对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x－y=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

【例58】 已知，求证：

【例59】 若均为实数，且。
求证：中至少有一个大于0。

【例60】 求证：形如的正整数不能写成两个整数的平方和

【例61】 若、，
(1)求证：；
(2)令，写出、、、的值，观看并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.

【例62】 设，函数在上是单调函数.
（1）求实数的取值范围；
（2）设≥1，≥1，且，求证：.

【例63】 设集合由满足下列两个条件的数列构成：
①；
②存在实数，使．（为正整数）
⑴在只有项的有限数列，中，其中；
；试推断数列是否为集合的元素；
⑵设是各项为正的等比数列，是其前项和，，，
证明数列；并写出的取值范围；
⑶设数列且对满足条件的的最小值，都有．
求证：数列单调递增．

【例64】 设是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.　　对任意的上的单峰函数，下面争辩缩短其含峰区间长度的方法.
（1）证明：对任意的，，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；
（2）对给定的，证明：存在，满足，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于；
（3）选取，，由（1）可确定含峰区间或，在所得的含峰区间内选取，由与或与类似地可确定一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为的状况下，试确定，的值，满足两两之差的确定值不小于0.02,且使新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

【例65】 已知数列满足：， ，；数列满足：
．
⑴求数列，的通项公式；
⑵证明：数列中的任意三项不行能成等差数列．