新课标2021-2022学年高二上学期第二次月考-数学(理)-Word版含答案.docx

2021-2022学年上学期其次次月考
高二数学理试题【新课标】

考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点的椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的一个焦点是，那么（ ）
A． B． C． D．
3．在空间中，下列命题正确的个数是（ ）
①平行于同始终线的两直线平行 ②垂直于同始终线的两直线平行
③平行于同一平面的两直线平行 ④垂直于同一平面的两直线平行
A．1 B．2 C．3 D．4

5．设抛物线上一点到轴距离是6，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D． 2
6．正方体AC1中，点P、Q分别为棱A1B1、DD1的中点，
则PQ与AC1所成的角为(　　)
A．30o　　　B．45o C．60o　　　D．90o
7．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F分别是棱AB、
BC、CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦
值为(　　)
A． B． C． D．
8．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
10．为椭圆上的一点， 分别为左、右焦点，且 则（ ）
A． B． C． D．
11．已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
12．从双曲线的左焦点引圆的切线，
切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，
为坐标原点，则与的大小关系为（ ）
A．　 B.
C． 　D.不确定
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知过抛物线焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是 .
14．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，则双曲线的渐近线方程为 .

15．在四周体中，
则二面角的大小为 .
16．若抛物线的焦点是，准线是，则经过两点、且与相切
的圆共有 个.
三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本题满分10分）
已知抛物线，直线与抛物线交于两点
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积.

19. （本题满分12分）
如图，在四棱锥中，//，，，平面，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

20. （本题满分12分）
已知椭圆：的右焦点为，且椭圆过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，与直线 交于点，若直线的斜率成等差数列，求的值.

21. （本题满分12分）
如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面⊥平面， ，，， 是的中点．
（Ⅰ）求证：；

22. （本题满分12分）
已知，直线：，椭圆：的左、右焦点分别为，
（Ⅰ）当直线过时，求的值；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，△、△的重心分别为、，若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：
DCBCA DCDCB AB
二、填空题：
13．45o或135o 14． 15．60o 16．2
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）设
，明显成立， ……2分
……4分
……5分
（Ⅱ）原点到直线的距离， ……7分
， ……9分
……10分
18．解：（法一）（Ⅰ）连结交于点，侧棱底面侧面是矩形，
为的中点，且是棱的中点，， ……4分
∵平面，平面
平面 ……6分
（Ⅱ），为异面直线与所成的角或其补角． ……8分
，
为等边三角形，，异面直线与所成的角为.……12分
（法二）（Ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，
设为平面的一个法向量，
令则 ……3分
，
又平面平面 ……6分
（Ⅱ）， ……8分

异面直线与所成的角为. ……12分
19．（法一）（Ⅰ）证明：以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，

则 …3分

又，平面 ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面的一个法向量为， ……8分
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为． ……12分
（法二）（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，∵CD∥AB，∴OB:OD=OA:OC=AB:CD=2
Rt△DAB中，DA=，AB=4，∴DB=，∴DO=DB=
同理，OA=CA=，∴DO2+OA2=AD2，即∠AOD=90o，∴BD⊥AC ……3分
又PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD ……5分
由AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC ……6分
（Ⅱ）解：连PO，取PO中点H，连QH，则QH∥BO，由（Ⅰ）知，QH⊥平面PAC
∴∠QCH是直线QC与平面PAC所成的角． ……8分
由（Ⅰ）知，QH=BO=，
取OA中点E，则HE=PA=2，又EC=OA+OC=
Rt△HEC中，HC2=HE2+EC2=
∴Rt△QHC中，QC=，∴sin∠QCH=
∴直线与平面所成的角的正弦值为． ……12分
20．解：（Ⅰ）由已知 ，由于椭圆过，所以
解得，椭圆方程是 ……4分
（Ⅱ）由已知直线的斜率存在，设其为，
设直线方程为，易得
由，所以……6分
， ， ……8分
而+
……10分
由于、、成等差数列，故
，解得 ……12分
21．（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60o，∴DE=．
∴AD2=AE2+DE2，即∠AED=90o，∵AB∥DC，∴DE⊥DC …① ……1分
∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，
∵DE平面ABCD，∴ND⊥DE …② ……2分
由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC
∴DE⊥NC ……4分
（Ⅱ）解：设存在P符合题意．
由(Ⅰ)知，DE、DC、DN两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz（如图），
则D,A,E,C,P．
∴，设平面PEC的法向量为，

则，令，则平面PEC的一个法向量为 ……7分
取平面ECD的法向量， ……9分
∴，解得，
即存在点P，使二面角P-EC-D的大小为，此时AP=． ……12分
22．解：（Ⅰ）由已知，交轴于为，，得
3分
（Ⅱ）设，
由于的重心分别为，所以
由于原点在以线段为直径的圆内，所以 ……5分