高中数学(北师大版)选修2-1教案：第2章-夹角的计算.docx

2.5 夹角的计算
一、学法指导
本小节主要包括三个部分的学问：直线间的夹角；平面间的夹角；直线与平面间的夹角.在学习时要留意的问题有：（1）直线间的夹角：直线间夹角的范围是（2）求平面间的夹角时求平面的法向量是解题的关键.（3）求直线与平面间的夹角时用的是直线的方向向量和平面的法向量所成的夹角，此角与直线和平面所成角互余. 用向量作工具来争辩空间的夹角问题时，重要的是明确直线的方向向量、平面的法向量以及它们之间的关系.
二、学问精要
学问点1: 直线间的夹角
1.两直线的夹角
当两条直线与共面时，我们把两条直线交角中，范围在内的角叫做两直线的夹角
2. 异面直线的夹角:
当两条直线与是异面直线时，在直线上任取一点A作AB∥，我们把直线和直线AB的夹角叫做异面直线与的夹角
3.(重点)空间两直线的夹角与它们方向向量的夹角的关系:
已知直线与的方向向量分别为， ，
当0<<时，直线与的夹角等于；当<时，直线与的夹角等于－.
注:确定直线的方向向量是解决两直线夹角的关键.
学问点2 (重难点) 平面间的夹角
1. 平面间的夹角:
在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在内的角为这两个平面的夹角.
注:平面间的夹角与平面的二面角不是同一概念.
2. (重点)求两平面间的二面角的向量求法
方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的角或其补角即为所求的二面角的大小；
注：要特殊关注两个向量的方向
方法二：设，分别是两个面的法向量，则向量与的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小.
注:通过向量法求出二面角有利于求两平面的夹角.
3. (难点)两平面的夹角与两平面法向量所成的角的关系.
平面和的法向量为和，为两个平面所成二面角的平面角，与的关系：
(1) 当0时，=；
(2) （2）当<时，=－
学问点3 (重难点) 直线与平面间的夹角.
1.直线与平面的夹角
平面外一条直线与他在该平面内的投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角.
注:直线与平面间的夹角的范围为
2直线与平面的夹角的计算方法
（1） 在平面内作出直线的投影，找到直线与平面的夹角，通过解三角形求出.
（2） 利用直线的方向向量和平面的法向量所成的角求直线与平面的夹角.
3. (难点)直线的方向向量与平面的法向量的夹角与平面间的夹角的关系：
始终线的方向向量为，一平面的法向量为，则此直线与该平面的夹角与的关系为=.
三、学问深化
学问点1: 直线间的夹角
两直线的夹角是指两条直线相交构成的四个角中不超过的角，由于异面直线既不相交也不平行，因此通过平移的方式使两异面直线相交然后定义其夹角，故空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定。运用向量法求异面直线的夹角就是在异面直线上取方向向量，运用公式，求出两向量的夹角.
注:用向量的夹角公式求异面直线所成角时要留意其范围。
学问点2:平面间的夹角
注:用向量法求二面角的大小时要留意向量的夹角与二面角是否相等.
学问点3:直线与平面间的夹角
在求直线与平面所成的角时，可以先求出直线及其射影对应的方向向量，再利用向量的内积求出直线与平面所成的角，或利用直线的方向向量与平面的法向量求得
四、高考链接
1、如图，在棱长为的正方体中，分别为和的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

解析：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础学问；考查空间想像力气、推理论证力气和探究问题、解决问题的力气，利用空间向量将线面角和二面角将几何问题转化为代数问题解决．
答案：
解：如图分别以所在的直线为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

由已知得、、、、、、、．
（1）取中点，则，
，又，
由，
∴与共线．从而∥，
∵平面， 平面，∴∥平面．
（2）∵，
，
∴异面直线与所成角的余弦值为．
（3）假设满足条件的点存在，可设点（），平面的一个法向量为，
则 ∵ ，∴
取．
易知平面的一个法向量，
依题意知， 或，
∴，即，解得
∵，∴在棱上存在一点，当的长为时，二面角的大小为.
2、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
解析：本题考查线面平行，异面直线所成角即点到平面的距离，在用向量解决时留意异面直线所成角的范围.
答案：
方法一（综合法）
（1）取OB中点E，连接ME，NE
∵∴又∵∴
∴
（2）∵ ∴为异面直线与所成的角（或其补角）
作连接
∵∴
∵∴
，
∴
所以 与所成角的大小为
（3）∵∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作
于点Q，
∵∴∴
又 ∵∴,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
∵，
∴，所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,
(1)

设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
∵
∴
(2)设与所成的角为,∵
∴ , 与所成角的大小为
(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的确定值,
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为

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