1、
[基础达标]
1．如图，△ABC中，D为BC的中点，E在CA上且AE＝2CE，
AD、BE相交于点F，求，.
解：过点D作DG∥AC且交BE于点G，
由于点D为BC的中点，
所以EC＝2DG.由于AE＝2CE，
所以＝.从而＝＝，
所以＝.
由于BG＝GE，所以＝.
2．(2022·湖南岳阳模拟)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB＝AF·AC．
证明：∵AD⊥BC，
∴△ADB为直角三角形．
又∵DE⊥AB，
由射影定理知，AD2＝AE·AB．
同理可得AD2＝AF·AC，
∴AE·AB＝AF·
2、AC．
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：＝.
证明：由直角三角形射影定理，知AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB，AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC，
∴＝.
∴＝＝，∴＝.
4. 如图所示，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F，求证：＝.
证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠ACB＝90°，
∴∠1＝∠ACB，∴△ABD∽△CAD，∴＝.
又∵E是
3、AC的中点，∴DE＝EC，∴∠3＝∠ACB．
又∵∠3＝∠4，∠1＝∠ACB，∴∠1＝∠4，
又有∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA，
∴＝，∴＝.
[力气提升]
1. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P为AD上一点，CF∥AB，BP的延长线交AC、CF于E、F两点，求证：PB2＝PE·PF.
证明：如图，连接PC．
易证PC＝PB，∠ABP＝∠ACP.
∵CF∥AB，
∴∠F＝∠ABP.
从而∠F＝∠ACP.
又∠EPC为△CPE与△FPC的公共角，
从而△CPE∽△FPC，∴＝.
∴PC2＝PE·PF.又PC＝PB，
∴PB2＝PE·PF.
4、
2. (2022·广东广州模拟)如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.
证明：在正方形ABCD中，
∵Q是CD的中点，∴＝2.
∵＝3，∴＝4.
又∵BC＝2DQ，∴＝2.
在△ADQ和△QCP中，＝，且∠D＝∠C＝90°，
∴△ADQ∽△QCP.
3．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.
证明：取AC的中点M，连接DM交CF于点N.
在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，
∴DN＝BF.
∵DN∥AF，
5、∴△AFE∽△DNE，
∴＝.
又∵DN＝BF，∴＝，
即AE·BF＝2DE·AF.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E.试证明：
(1)AB·AC＝BC·AD；
(2)AD3＝BC·CF·BE.
证明：(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，
∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD．
∴AB·AC＝BC·AD．
(2)在Rt△ADB中，DE⊥AB，
由射影定理可得BD2＝BE·AB，
同理CD2＝CF·AC，
∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC．
又在Rt△BAC中，AD⊥BC，
∴AD2＝BD·DC，
∴AD4＝BE·AB·CF·AC．
又AB·AC＝BC·AD，
即AD3＝BC·CF·BE.
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