【2021届备考】2021全国名校数学试题分类解析汇编(1月第三期)：K单元概率.docx

K单元概率
名目
K单元概率 1
K1　随大事的概率 1
K2　古典概型 6
K3　几何概型 7
K4 互斥大事有一个发生的概率 9
K5 相互对立大事同时发生的概率 9
K6　离散型随机变量及其分布列 9
K7　条件概率与大事的独立性 16
K8　离散型随机变量的数字特征与正态分布 16
K9 单元综合 16

K1　随大事的概率

【数学（理）卷·2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】20．（本小题满分12分）
对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：
日车流量x

频率
0.05
0.25
0.35
0.25
0.10
0
将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．
（Ⅰ）求在将来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；
（Ⅱ）用X表示在将来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．
【学问点】概率离散型随机变量的期望与方差K1 K6
【答案】（Ⅰ）0.049；（Ⅱ）2.1..
【解析】解析：（Ⅰ）设表示大事“日车流量不低于10万辆”，表示大事“日车流量低于5万辆”，表示大事“在将来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．
则
所以…………………………………………………（6分）
（Ⅱ）可能取的值为，相应的概率分别为
，，
，.
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
由于，所以期望………………………………（12分）
【思路点拨】（Ⅰ）表示大事“日车流量不低于10万辆”，表示大事“日车流量低于5万辆”，表示大事“在将来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．直接求出概率即可．（Ⅱ可能取的值为，相应的概率分别为，写出X的分布列，即可求出

【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】17．（本小题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现接受分层抽样方法（层内接受不放回简洁随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望．
【学问点】分层抽样方法等可能大事的概率离散型随机变量及其分布列 I1 K1 K6
【答案】（1）甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人；（2）.
【解析】解析：（1）由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，依据分层抽样原理．若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3．
Ai表示大事：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2．
B表示大事：从乙组抽取的是1名男工人．
Ai与B独立，

，

所以分布列为：

故期望.
【思路点拨】（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；由于接受分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．且甲组有10名工人，乙组有5名工人，依据分层抽样原理可直接得到答案．（2）求ξ的分布及数学期望．首先记大事Ai表示大事：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2．B表示大事：从乙组抽取的是1名男工人．故可得到ξ的可能取值为0，1，2，3．然后对每一个取值求概率．最终依据期望公式即可得到答案．

【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】17．（本小题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现接受分层抽样方法（层内接受不放回简洁随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望．
【学问点】分层抽样方法等可能大事的概率离散型随机变量及其分布列 I1 K1 K6
【答案】（1）甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人；（2）.
【解析】解析：（1）由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，依据分层抽样原理．若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3．
Ai表示大事：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2．
B表示大事：从乙组抽取的是1名男工人．
Ai与B独立，

，

所以分布列为：

故期望.
【思路点拨】（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；由于接受分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．且甲组有10名工人，乙组有5名工人，依据分层抽样原理可直接得到答案．（2）求ξ的分布及数学期望．首先记大事Ai表示大事：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2．B表示大事：从乙组抽取的是1名男工人．故可得到ξ的可能取值为0，1，2，3．然后对每一个取值求概率．最终依据期望公式即可得到答案．

【数学文卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】17．（本小题满分12分）
某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：

（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？并说明缘由．
（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估量这350人中，年龄大于50岁的有多少人
（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率．
【学问点】用样本的频率分布估量总体分布分层抽样方法等可能大事的概率 I2 I1 K1
【答案】（1）节能意识强弱与年龄有关；（2）280；(3).
【解析】解析：（1）由于20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关
（2）由数据可估量在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率约为，
∴年龄大于50岁的约有(人)
（3）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的（人），
年龄大于50岁的5-1=4人，

记这5人分别为
从这5人中任取2人，共有10种不同取法：
设A表示随机大事“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，
则A中的基本大事有4种：
故所求概率为
【思路点拨】（1）利用独立性检验的基本思想，只要在每个年龄段计算它们节能意识强的概率，若差距较大说明与年龄有关，也可利用的值的大小来直观推断；（2）先利用统计数据计算在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率，再由总体乘以概率即可得总体中年龄大于50岁的有多少人；（3）先确定抽样比，即每层中应抽取，故再抽到的5人中，一人年龄小于50，4人年龄大于50，从中取两个，求恰有1人年龄在20至50岁的概率为古典概型，利用古典概型的概率计算公式，分别利用列举法计数即可得所求概率.

【数学卷·2021届江苏省盐城中学高三1月月考（202101）】3.从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和为5的概率是．

【学问点】等可能大事的概率.K1
【答案】【解析】解析：依据题意，从5个数中一次随机取两个数，
其状况有（1、2），（1、3），（1、4），（1、5），（2、3），（2、4），（2、5），（3、4），（3、5），（4、5），共10种状况，
其中这两个数的和为5的有（1、4），（2、3），共2种；
则取出两个数的和为5的概率P==.
故答案为．
【思路点拨】依据题意，列举从5个数中一次随机取两个数的状况，可得其状况数目与取出两个数的和为5的状况数目，由等可能大事的概率公式，计算可得答案．

K2　古典概型

【数学（文）卷·2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】17.已知函数，其中，，则函数在上是增函数的概率为__________.
【学问点】函数的单调性古典概型B12 K2
【答案】【解析】解析：，若函数在上是增函数，则对于任意恒成立．所以即，全部试验结果为：，满足的有当时，，当时，，当时，，当时，，共有，所以所求概率为：.故答案为.
【思路点拨】依据函数在上是增函数可得恒成立，解得满足关系式为：，即可求得满足条件的大事的个数，而全部试验结果为：，由古典概型可求得其概率.

【数学文卷·2021届云南省部分名校高三1月份统一考试（202101）】18．（本小题满分12分）
云南省2022年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的平均身高为170.5cm.现从我校高三班级男生中随机抽取50名测量身高，测量发觉被测同学身高全部介于157.5cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [157.5，162.5]，其次组[162.5，167.5]，…，第6组[182.5，187.5]，
下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）试评估我校高三班级男生在全省高中男生中的平均身高状况；
（2）已知我校这50名男生中身高排名（从高到低）在全省前100名有2人，现从身高182.5cm以上（含182.5 cm）的人中任意抽取2人，求该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名的概率.
【学问点】频率分布直方图古典概率I2 K2
【答案】【解析】（1）170.5（2）
解析：（1）由直方图，经过计算我校高三班级男生平均身高为
高于全市的平均值170.5（6分）
（2）这50人中182.5 cm以上的有5人，分别设为A,B,C,D,E，其中身高排名在全省前100名为A,B。设“该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名”为大事A,
由列举法可知（12分）
【思路点拨】由直方图中可直接求平均值；由列举法可得2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名的概率，此问也可利用对立大事求解.

K3　几何概型

【数学（理）卷·2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】8．如图，矩形的四个顶点的坐标分别为正弦曲线和余弦曲线在矩形内交于点F，向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是
C
B
x
y
O
A
E
D
F
f(x)=sinx
g(x)=cosx

A． B． C． D．
【学问点】定积分几何概型B13 K3
【答案】【解析】B解析：依据题意，可得曲线与围成的区域，
其面积为
又矩形的面积为，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是：.所以选B.
【思路点拨】利用定积分计算公式，算出曲线与围成的区域包含在区域D内的图形面积为，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．

【数学理卷·2021届云南省部分名校高三1月份统一考试（202101）】9.已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）
A. B.C. D.
【学问点】几何概型K3
【答案】【解析】D解析：由得，设BC边中点为D，则,P为AD中点，所以黄豆落在内的概率是，
故选D.
【思路点拨】：由得P为BC边中线AD的中点，由此可得黄豆落在内的概率.

【数学文卷·2021届云南省部分名校高三1月份统一考试（202101）】8.已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（）
A. B.C. D.
【学问点】几何概型K3
【答案】【解析】D解析：由得，设BC边中点为D，则,P为AD中点，所以黄豆落在内的概率是，
故选D.
【思路点拨】：由得P为BC边中线AD的中点，由此可得黄豆落在内的概率.

K4 互斥大事有一个发生的概率

K5 相互对立大事同时发生的概率

K6　离散型随机变量及其分布列

【数学（理）卷·2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】20．（本小题满分12分）
对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：
日车流量x

频率
0.05
0.25
0.35
0.25
0.10
0
将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．
（Ⅰ）求在将来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；
（Ⅱ）用X表示在将来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．
【学问点】概率离散型随机变量的期望与方差K1 K6
【答案】（Ⅰ）0.049；（Ⅱ）2.1..
【解析】解析：（Ⅰ）设表示大事“日车流量不低于10万辆”，表示大事“日车流量低于5万辆”，表示大事“在将来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．
则
所以…………………………………………………（6分）
（Ⅱ）可能取的值为，相应的概率分别为
，，
，.
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
由于，所以期望………………………………（12分）
【思路点拨】（Ⅰ）表示大事“日车流量不低于10万辆”，表示大事“日车流量低于5万辆”，表示大事“在将来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．直接求出概率即可．（Ⅱ可能取的值为，相应的概率分别为，写出X的分布列，即可求出

【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】17．（本小题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现接受分层抽样方法（层内接受不放回简洁随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望．
【学问点】分层抽样方法等可能大事的概率离散型随机变量及其分布列 I1 K1 K6
【答案】（1）甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人；（2）.
【解析】解析：（1）由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，依据分层抽样原理．若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3．
Ai表示大事：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2．
B表示大事：从乙组抽取的是1名男工人．
Ai与B独立，

，

所以分布列为：

故期望.
【思路点拨】（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；由于接受分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．且甲组有10名工人，乙组有5名工人，依据分层抽样原理可直接得到答案．（2）求ξ的分布及数学期望．首先记大事Ai表示大事：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2．B表示大事：从乙组抽取的是1名男工人．故可得到ξ的可能取值为0，1，2，3．然后对每一个取值求概率．最终依据期望公式即可得到答案．

【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】2．已知离散型随机变量X的分布列为

则X的数学期望E（X）=
A． B．2 C． D．3
【学问点】离散型随机变量的分布列 K6
【答案】A【解析】解析：由数学期望公式可得：.故选择A.
【思路点拨】依据数学期望公式可得.

【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】17．（本小题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现接受分层抽样方法（层内接受不放回简洁随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望．
【学问点】分层抽样方法等可能大事的概率离散型随机变量及其分布列 I1 K1 K6
【答案】（1）甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人；（2）.
【解析】解析：（1）由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，依据分层抽样原理．若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3．
Ai表示大事：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2．
B表示大事：从乙组抽取的是1名男工人．
Ai与B独立，

，

所以分布列为：

故期望.
【思路点拨】（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；由于接受分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．且甲组有10名工人，乙组有5名工人，依据分层抽样原理可直接得到答案．（2）求ξ的分布及数学期望．首先记大事Ai表示大事：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2．B表示大事：从乙组抽取的是1名男工人．故可得到ξ的可能取值为0，1，2，3．然后对每一个取值求概率．最终依据期望公式即可得到答案．

【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】2．已知离散型随机变量X的分布列为

则X的数学期望E（X）=
A． B．2 C． D．3
【学问点】离散型随机变量的分布列 K6
【答案】A【解析】解析：由数学期望公式可得：.故选择A.
【思路点拨】依据数学期望公式可得.

【数学理卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】18、（本小题满分12分）
某中学随机抽取部分高一同学调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）假如上学路上所需时间不少于小时的同学可申请在学校住宿，若招生名，请估量新生中有多少名同学可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的高一同学中任选名同学，这名同学中上学路上所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

【学问点】频率分布直方图 随机变量的分布列与期望I2 K6
【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）名；（Ⅲ）E(X)=1
解析：（Ⅰ）由直方图可得：．
所以 ．
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于小时的频率为：，
由于，所以1200名新生中出名同学可以申请住宿．
（Ⅲ）的可能取值为 由直方图可知，每位同学上学所需时间少于分钟的概率为，, ,
,,．
所以的分布列为：

0
1
2
3
4

．（或）
所以的数学期望为．
【思路点拨】求离散随机变量分布列与期望时，可先确定随机变量的全部可能取值，再计算其对应的概率，即可得其分布列，利用公式求期望即可.

【数学理卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】18、（本小题满分12分）
某中学随机抽取部分高一同学调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）假如上学路上所需时间不少于小时的同学可申请在学校住宿，若招生名，请估量新生中有多少名同学可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的高一同学中任选名同学，这名同学中上学路上所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

【学问点】频率分布直方图 随机变量的分布列与期望I2 K6
【答案】解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）名；（Ⅲ）E(X)=1
解析：（Ⅰ）由直方图可得：．
所以 ．
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于小时的频率为：，
由于，所以1200名新生中出名同学可以申请住宿．
（Ⅲ）的可能取值为 由直方图可知，每位同学上学所需时间少于分钟的概率为，, ,
,,．
所以的分布列为：

0
1
2
3
4

．（或）
所以的数学期望为．
【思路点拨】求离散随机变量分布列与期望时，可先确定随机变量的全部可能取值，再计算其对应的概率，即可得其分布列，利用公式求期望即可.

【数学理卷·2021届云南省部分名校高三1月份统一考试（202101）】18. （本小题满分12分）
云南省2022年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高听从正态分布.现从我校高三班级男生中随机抽取50名测量身高，测量发觉被测同学身高全部介于157.5cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [157.5，162.5]，其次组[162.5，167.5]，…，第6组[182.5，187.5]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（Ⅰ）试评估我校高三班级男生在全省高中男生中的平均身高状况；
（Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人中任意抽取2人，该2人
中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为，求的数学期望．
参考数据：
若．则=0.6826，=0.9544,
=0.9974.
【学问点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差I2 K6
【答案】【解析】（Ⅰ）170.5（Ⅱ）10（Ⅲ）1
解析：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校高三班级男生平均身高为
高于全市的平均值170.5（4分）
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数为10人. ……………（6分）
（Ⅲ），
，0.0013×100 000=130.
所以，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人.
随机变量可取，于是
,,
. ………………………………（12分）
【思路点拨】（I）高三男生的平均身高用组中值×频率，即可得到结论；
（II）首先理解频数分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即：每组中包含个体的个数．我们可以依据频数分布直方图，了解数据的分布状况，知道每段所占的比例，从而求出求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数．
（III）先依据正态分布的规律求出全市前130名的身高在1802.5cm以上，这50人中1802.5cm以上的有2人，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．

K7　条件概率与大事的独立性

K8　离散型随机变量的数字特征与正态分布

K9 单元综合