2020-2021学年高中数学(苏教版-选修1-2)-第2章-2.1.1-课时作业.docx

第2章　推理与证明
§2.1　合情推理与演绎推理
2.1.1　合情推理

课时目标　1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简洁的推理.2.了解合情推理在数学发觉中的作用．

1．推理：从一个或几个已知命题得出________________________过程称为推理．
2．归纳推理和类比推理

归纳推理
类比推理
定义
从个别事实中推
演出一般性的结论
依据两个(或两类)对象
之间在某些方面的相像或相同，
推演出它们在其他方面也相像或相同
思维
过程
试验、观看→概
括、推广→猜想一
般性结论
观看、比较→联想、类推→猜想新的结论

一、填空题
1．下列说法正确的是________．
①由合情推理得出的结论确定是正确的
②合情推理必需有前提有结论
③合情推理不能猜想
④合情推理得出的结论不能推断正误
2．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是____________．
3．已知A＝1＋2x4，B＝x2＋2x3，x∈R，则A与B的大小关系为________．
4．给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中正确结论的个数是________．
5．观看图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为________．

6．已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四周体，类似的
结论是____________________________．
7．观看下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，依据上述规律，第五个等式为____________________．
8．观看下列等式：
①cos 2α＝2cos2α－1；
②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推想，m－n＋p＝________.

二、解答题
9．观看等式sin220°＋sin240°＋sin 20°·sin 40°＝；
sin228°＋sin232°＋sin 28°·sin 32°＝.请写出一个与以上两个等式规律相同的一个等式．

10．已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝ (n∈N*)，求出a1，a2，a3，并推想an的表达式．

力气提升
11．若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则＝＋，在正方体的一角上截取三棱锥P—ABC，PO为棱锥的高，记M＝，N＝＋＋，那么M、N的大小关系是M________N．(填“<、>、＝、≤、≥”中的一种)
12．已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在时，记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C：－＝1写出具有类似的特性的性质，并加以证明．

1．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的生疏功能，归纳推理的一般步骤：
(1)通过观看个别状况发觉某些相同性质．
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．
2．运用类比推理必需查找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系．在应用类比推理时，其一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以精确     表述的相像性(或全都性)．(2)用一类对象的性质去推想另一类对象的性质，从而得出一个猜想．(3)检验这个猜想．

第2章　推理与证明
§2.1　合情推理与演绎推理
2．1.1　合情推理
答案

学问梳理
1．另一个新命题的思维
作业设计
1．②
解析　合情推理的结论不愿定正确，但必需有前提有结论．
2．2n－1
解析　a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想an＝2n－1.
3．A≥B
解析　∵A－B＝2x4－2x3－x2＋1＝(x－1)2·(2x2＋2x＋1)≥0，∴A≥B.
4．1
5．■
解析　图形涉及□、○、三种符号；其中○与各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个□符号，即应画上■才合适．
6．正四周体的内切球的半径是高的
解析　原问题的解法为等面积法，即S＝ah＝3×ar⇒r＝h，类比问题的解法应为等体积法，V＝Sh＝4×Sr⇒r＝h，即正四周体的内切球的半径是高的.
7．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
8．962
解析　观看各式简洁得m＝29＝512，留意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，将m＝512代入得n＋p＋350＝0.
对于等式⑤，令α＝60°，则有
cos 600°＝512·－1 280·＋1 120·＋n＋p－1，化简整理得n＋4p＋200＝0，
联立方程组得
∴m－n＋p＝962.
9．解　∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，
∴由此题的条件猜想，若α＋β＝60°，
则sin2α＋sin2β＋sin α·sin β＝.
10．解　由a1＝S1＝得，a1＝，
又a1>0，所以a1＝1.
当n≥2时，将Sn＝，
Sn－1＝的左右两边分别相减得
an＝－，
整理得an－＝－，
所以a2－＝－2，即a＋2a2＋1＝2，
又a2>0，所以a2＝－1.
同理a3－＝－2，即a＋2a3＋2＝3，
又a3>0，所以a3＝－.
可推想an＝－.
11．＝
12．证明　类似性质为：若M、N为双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与P点位置无关的定值．其证明如下：
设P(x，y)，M(m，n)，则N(－m，－n)，
其中－＝1，即n2＝(m2－a2)．
∴kPM＝，kPN＝，
又－＝1，即y2＝(x2－a2)，
∴y2－n2＝(x2－m2)．
∴kPM·kPN＝＝.
故kPM·kPN是与P点位置无关的定值．