2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：7.5直线、平面垂直的判定及其性质.docx

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课时提升作业(四十四)
一、选择题
1.（2021·汕头模拟）已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α,m⊂β,则“α∥β”是“l⊥m”的( )
（A）充要条件
（B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
2.对于直线m，n和平面α,β，α⊥β的一个充分条件是( )
(A)m⊥n,m∥α,n∥β
(B)m⊥n,α∩β=m,n⊂α
(C)m∥n,n⊥β,m⊂α
(D)m∥n,m⊥α,n⊥β
3.已知a,b,c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b,a⊥c，则b∥c;②若a⊥b,a⊥c,则b⊥c;③若a∥b,b⊥c，则a⊥c.
其中正确的个数为( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
4.a,b,c是三条直线，α,β是两个平面，b⊂α，cα，则下列命题不成立的是( )
（A）若α∥β，c⊥α，则c⊥β
（B）“若b⊥β，则α⊥β”的逆命题
（C）若a是c在α内的射影，a⊥b，则b⊥c
（D）“若b∥c，则c∥α”的逆否命题
5.已知两条直线m,n,两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;
②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;
③m∥n,m∥α⇒n∥α;
④α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.
其中正确命题的序号是( )
(A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)②③
6.已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，假如把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的全部新命题中，真命题有( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
7.已知直线m,n和平面α，β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β，则( )
(A)n⊥β (B)n∥β
(C)n⊥α (D)n∥α或n⊂α
8.（力气挑战题）已知四棱锥V-ABCD，底面ABCD是边长为3的正方形，VA⊥平面ABCD，且VA=4,则此四棱锥的侧面中，全部直角三角形的面积的和是( )
(A)12 (B)24 (C)27 (D)36

二、填空题
9.P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.
其中正确的个数是___________.
10.已知m，n是两条不重合的直线,α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α,m⊥β，则α∥β;
②若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β;
③α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
④若m，n是异面直线，m⊂α,m∥β,n⊂β,n∥α,则α∥β.其中真命题是___________.
11.（2021·佛山模拟）如图，正方形BCDE的边长为a,已知将直角△ABE沿BE边折起，A点在平面BCDE上的射影为D点，则对翻折后的几何体有如下描述：
(1)三棱锥B-ACE的体积是
(2)AB∥CD.
(3)平面EAB⊥平面ADE.
其中正确的叙述有___________.（写出全部正确结论的编号）
三、解答题
12.(2021·揭阳模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点.
求证:（1）A1C⊥B1D1.
（2）C1O∥平面AB1D1.

13.如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，AC=CD=3.
（1）证明：EO∥平面ACD.
（2）证明：平面ACD⊥平面BCDE.
（3）求三棱锥E-ABD的体积.
14．如图，A,B,C,D为空间四点.在△ABC中，AB=2,
AC=BC等边三角形ADB以AB为轴转动.
（1）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD.
（2）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.

答案解析
1.【解析】选B.当α∥β,l⊥α时，有l⊥β,
又m⊂β,故l⊥m.

反之，当l⊥m,m⊂β时，不愿定有l⊥β,
故α∥β不愿定成立.
因此“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件.
2.【解析】选C.对于C项：∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β,又m⊂α,∴α⊥β.
3.【解析】选B.①不对，b,c可能异面；②不对，b,c可能平行或异面；③对，选B.
4.【解析】选B.一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则垂直于另一个，故A正确；若c∥α，∵a是c在α内的射影，∴c∥a.∵b⊥a，∴b⊥c；若c与α相交，则c与a相交，由线面垂直的性质与判定定理知，若b⊥a，则b⊥c，故C正确；∵b⊂α，cα，b∥c，∴c∥α，因此原命题“若b∥c，则c∥α”为真，从而其逆否命题也为真，故D正确；当α⊥β时，平面α内的直线不愿定垂直于平面β，故B不成立.
【误区警示】平面几何中的一些结论引用到立体几何中造成错误.对空间中位置关系的考虑不周，也是造成推断错误的因素.
5.【解析】选C.对于①，由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此①是正确的；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不愿定平行，因此②是错误的；对于③，直线n可能位于平面α内，此时结论明显不成立，因此③是错误的；对于④，由m⊥α且α∥β得m⊥β,又m∥n，故n⊥β,因此④是正确的.
【变式备选】如图，PA⊥正方形ABCD，下列结论中不正确的是 )
（A）PB⊥BC
（B）PD⊥CD
（C）PD⊥BD
（D）PA⊥BD
【解析】选C.由CB⊥BA，CB⊥PA，PA∩BA=A，知CB⊥平面PAB，故CB⊥PB，即A正确；同理B正确；由条件易知D正确.
6.【解析】选C.若α,β换为直线a,b，则命题化为“a∥b,且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α,γ换为直线a,b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”,此命题为假命题；若β,γ换为直线a,b，则命题化为“a∥α,且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题，故选C.
7.【解析】选D.如图所示，

图①中n与β相交，②中n⊂β,③中n∥β,n∥α,∴排解A,B,C故选D.
8.【思路点拨】先探究出四棱锥的四个侧面中有几个直角三角形,再计算各自面积,进而求和.
【解析】选C.由于VA⊥平面ABCD,

∴VA⊥AB,VA⊥AD.
故△VAB,△VAD为直角三角形.
又底面ABCD为正方形,
∴BC⊥AB,又VA⊥BC,AB∩VA=A,
∴BC⊥平面VAB,VB⊂平面VAB,
∴BC⊥VB，故△VBC为直角三角形.
同理可证△VDC亦为直角三角形.
∴其面积
9.【解析】如图所示.
∵PA⊥PC,PA⊥PB,PC∩PB=P,∴PA⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，
∴PA⊥BC.
同理PB⊥AC，PC⊥AB.
但AB不愿定垂直于BC.
答案：3
10.【解析】①正确.垂直于同一条直线的两个平面相互平行.
②错误.m⊂α,n⊂β,m∥n，则α与β可能平行也可能相交.
③错误.若α⊥γ,β⊥γ，则α∥β或α与β相交.
④正确.由于m,n是异面直线，过平面α内的直线m上一点O平移n到n′，使n′∥n,
∴n′∥β.又n′∩m=O，m∥β,∴平面α∥β.
答案：①④
11.【解析】翻折后得到的直观图如图所示.
由于AD⊥平面BCDE，所以平面ADC⊥平面BCDE.
又由于四边形BCDE为正方形，
所以BC⊥CD.
可得BC⊥平面ACD.
所以BC⊥AC.
由于BC=a,
则
所以可得
故（1）正确；
由于AB与CD异面，故（2）错；
由于AD⊥平面BCDE，所以平面ADE⊥平面BCDE.
又BE⊥ED，所以BE⊥平面ADE，故平面EAB⊥平面ADE，故（3）正确.
答案：（1）（3）
12.【证明】（1）连接A1C1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以A1C1⊥B1D1. ①
又A1A⊥平面A1B1C1D1，所以A1A⊥B1D1. ②
又AA1∩A1C1=A1， ③
由①②③有B1D1⊥平面A1ACC1,而A1C⊂平面A1ACC1,所以A1C⊥B1D1.
(2)设A1C1交B1D1于O1，连接AO1,
由ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AC∥A1C1,且O1C1=AO
即四边形AOC1O1是平行四边形，所以O1A∥C1O.
又O1A⊂平面AB1D1,∴C1O∥平面AB1D1.
13.【解析】（1）如图，取BC的中点M，连接OM，ME.
在△ABC中，O为AB的中点，M为BC的中点，
∴OM∥AC.
在直角梯形BCDE中，DE∥BC，且
∴四边形MCDE为平行四边形，
∴EM∥DC，且AC∩CD=C，OM∩EM=M，
∴平面EMO∥平面ACD.
又∵EO⊂平面EMO，
∴EO∥平面ACD.
（2）∵C在以AB为直径的圆上，∴AC⊥BC.
又∵平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，
∴AC⊥平面BCDE.
又∵AC⊂平面ACD，
∴平面ACD⊥平面BCDE.
（3）由（2）知AC⊥平面BCDE.
又
∴
【变式备选】如图所示是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形.
（1）若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME.
（2）证明：平面BDE⊥平面BCD.

【证明】（1）连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，
又
∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM.
∵AN平面CME，EM⊂平面CME，
∴AN∥平面CME.
（2）∵AC=AB，N是BC的中点，∴AN⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCD，
平面ABC∩平面BCD=BC，
∴AN⊥平面BCD.
由（1）知AN∥EM，∴EM⊥平面BCD.
又EM⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD.
14．【解析】（1）取AB的中点E，连接DE,CE，
由于△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
由于平面ADB∩平面ABC=AB，
所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.
由已知可得EC=1,
在Rt△DEC中，
（2）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明：
①当D在平面ABC内时，
由于AC=BC，AD=BD,
所以C,D都在线段AB的垂直平分线上，
即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，
由（1）知AB⊥DE.
又因AC=BC，所以AB⊥CE.
又DE,CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE.
由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
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