2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第二章第13课时.docx

基础达标1(2022山西省考前适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件 B2百万件C3百万件 D4百万件解析：选C依题意得，y3x2273(x3)(x3)，当0x3时，y0；当x3时，y0.因此，当x3时，该商品的年利润最大2从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A12 cm3 B72 cm3C144 cm3 D160 cm3解析：选C设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则y(102x)(162x)x4x352x2160x(0x)，当x(2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A BC D1解析：选D由题意知，当x(0，2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0.f(x)maxf()ln a11，解得a1.4(2022山西大同诊断)设D是函数yf(x)定义域内的一个区间，若存在x0D，使f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”，若函数f(x)ax23xa在区间1，4上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是()A(，0) B(0，)C，) D(，解析：选D设g(x)f(x)x，依题意，存在x1，4，使g(x)f(x)xax22xa0.当x1时，g(1)0；当x1时，由ax22xa0得a.记h(x)(10；当x(2，4)时，h(x)0，即函数h(x)在(1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数，因此当x2时，h(x)取得最大值，最大值是h(2)，故满足题意的实数a的取值范围是(，5(2022浙江省名校联考)设函数ht(x)3tx2t，若有且仅有一个正实数x0，使得h7(x0)ht(x0)对任意的正数t都成立，则x0()A5 BC3 D解析：选Dh7(x0)ht(x0)对任意的正数t都成立，h7(x0)ht(x0)max.记g(t)ht(x0)3tx02t，则g(t)3x03t，令g(t)0，得tx，易得ht(x0)maxg(x)x，21x014x，将选项代入检验可知选D6函数f(x)ax3x恰有三个单调区间，则a的取值范围是_解析：f(x)ax3x恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f(x)0有两个不等实根f(x)ax3x，f(x)3ax21.要使f(x)0有两个不等实根，则a0时，即x(0，1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4.当x0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，ln x0，所以g(x)1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递增所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线L的下方9(2022山东泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6x11)，年销售为u万件，若已知u与(x)2成正比，且售价为10元时，年销售为28万件(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润解：(1)设uk(x)2，售价为10元时，年销量为28万件，28k(10)2，解得k2.u2(x)22x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6x0；当x(9，11)时，y0)(1)当x0时，求证：f(x)1a(1)；(2)在区间(1，e)上f(x)x恒成立，求实数a的范围解：(1)证明：设(x)f(x)1a(1)aln xa(1)(x0)，则(x)，令(x)0，则x1，易知(x)在x1处取到最小值，故(x)(1)0，即f(x)1a(1)(2)由f(x)x得aln x1x，即a.令g(x)(1xe)，则g(x).令h(x)ln x(1x0，故h(x)在定义域上单调递增，所以h(x)h(1)0.由于h(x)0，所以g(x)0，即g(x)在定义域上单调递增，则g(x)g(e)e1，即0)(1)当a时，求函数f(x)的单调区间；(2)当1a1e时，求证：f(x)x.解：(1)当a时，f(x)xex.令f(x)ex0，得xln 2.当x0；当xln 2时，f(x)0，f(x)x成立；当1a1e时，F(x)ex(a1)exeln(a1)，当xln(a1)时，F(x)ln(a1)时，F(x)0，F(x)在(，ln(a1)上单调递减，在(ln(a1)，)上单调递增，F(x)F(ln(a1)eln(a1)(a1)ln(a1)(a1)1ln(a1)，10，1ln(a1)1ln(1e)10，F(x)0，即f(x)x成立综上，当1a1e时，有f(x)x.2(2022浙江十校联考)已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)x24x2，若对任意x1(0，)，均存在x20，1，使得f(x1)0)当a0时，由于x0，故ax10，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0，)当a0，在区间(，)上，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，)(2)由题意得f(x)maxg(x)max，而g(x)max2，由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，值域为R，故不符合题意当a1ln(a)，解得a0)，所以h(x).由h(x)0，且x0，得0xe.由h(x)0，得xe，所以函数h(x)的单调增区间是(0，e，单调减区间是e，)所以当xe时，h(x)取得最大值.(2)由于xf(x)2x2ax12对一切x(0，)恒成立，即xln xx22x2ax12对一切x(0，)恒成立，即aln xx对一切x(0，)恒成立，设(x)ln xx，由于(x)，故(x)在(0，3上递减，在3，)上递增，(x)min(3)7ln 3，所以a7ln 3.即实数a的取值范围是(，7ln 3(3)由于方程f(x)x32ex2bx0恰有一解，即ln xxx32ex2bx0恰有一解，即x22exb1恰有一解由(1)知，h(x)在xe时，h(x)max，而函数k(x)x22exb1在(0，e上单调递减，在e，)上单调递增，故xe时，k(x)minb1e2，故方程x22exb1恰有一解时当且仅当b1e2，即be21.