1、
2021届高三数学（理）提升演练：数系的扩充与复数的引入
一、选择题
1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．－i B．i
C．－1 D．1
2．若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝( )
A．1＋3i B．3＋3i
C．3－i D．3
3．若(x－i)i＝y＋2i，x、y∈R，则复数
x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
4．已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在( )
A．第一象限
2、 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
5．若a、b∈R， i为纯虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
6．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )
A．2 B．－2
C．－ D.
二、填空题
7． i为虚数单位，＋＋＋＝________.
8．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围是________．
9．复数的共轭复数是________．
三、解答题
3、
10．实数m分别取什么数值时？复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)与复数2－12i相等；
(2)与复数12＋16i互为共轭复数；
(3)对应的点在x轴上方．
11．计算：＋()2022＋.
12．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．
详解答案
一、选择题
1．解析：由iz＝1得z＝＝－i.
答案：A
2．解析：∵(1＋z)·z＝z＋z2＝1＋i＋(1＋i)2＝1＋i＋2i＝1＋3i.
答案：A
3．解析：由题意得，xi＋1＝
4、y＋2i，故x＝2，y＝1，
即x＋yi＝2＋i.
答案：B
4．解析：f(1＋i)＝(1＋i)2＝2i，∴＝＝＝＋i，故对应点在第一象限．
答案：A
5．解析：由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，依据两复数相等的充要条件得a＝1，b＝－1.
答案：C
6．解析：法一：＝＝为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2；
法二：＝为纯虚数，所以a＝2.
答案：A
二、填空题
7．解析：＋＋＋＝－i＋i－i＋i＝0.
答案：0
8．解析：∵x为实数，∴x2－6x＋5和x－2都是实数．
由题意，得解得
即1＜x＜2.故x的取值范围是(1,2)．
答案：(1,2)
9．
5、解析：＝＝＝i，所以其共轭复数为－i.
答案：－i
三、解答题
10．解：(1)依据复数相等的充要条件得
解之得m＝－1.
(2)依据共轭复数的定义得
解之得m＝1.
(3)依据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15＞0，
解之得m＜－3或m＞5.
11．解：原式＝＋[]1006＋＝＋()1006＋0＝i＋(－i)1006＝i＋i2＝i－1＝－1＋i.
12．解：1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝(＋)＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
∵1＋z2是实数，
∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3.
∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.
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