东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：随机数与几何概型B.docx

随机数与几何概型(学案)B
一、 学问梳理：(必修3教材135-142页)
1、 几何概型的概念:
假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例,则称这种概率模型为几何概率模型,简称 .
2、 几何概型的特点
（1）无限性：即在一次试验中，基本大事中的个数可以是 ；
（2）等可能性：即每个基本大事发生的可能性 。
因此，用几何概型求解概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”。即随机大事A的概率可以用“大事A所包含的基本大事所占的图形面积（体积或长度）”
与“试验基本大事所占的图形面积（体积或长度）”之比来表示。
3、 几何概率的计算公式：
设几何概型的基本大事空间可以表示成度量的区域Ω,大事A所对的区域用A表示(A⊆Ω),则P(A)= .
4、 几何概型与古典概型的区分与联系
共同点： 。
不同点：基本大事的个数一个是无限的，一个是有有限 的，基本大事可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限 的，但是它们所占据的区域却是有限的，依据等或能性，这个点落在区域内的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和外形无关。
5、 均匀随机数
在确定范围内随机产生的数，其中 每一个数产生的机会 是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率。一般地，利用计算机可计算器的rand（ ）函数就可以产生0—1之间的均匀随机数。
6、a-b之间的均匀随机数产生：利用计算机可计算器的rand（x）函数就可以产生0-1之间的均匀随机数x=rand（ ），然后利用伸缩和平移变换x= rand（ ）*（b-a）+a，就可以产生[a，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a-b之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的。
6、均匀随机数的应用
（1） ；
2）
二、题型探究
[探究一]与长度有关的几何概型
例1：在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为 （ ）
A． B． C． D．

[探究二]与面积（体积）有关的几何概型
例2： ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 （ ）
A． B． C． D．
0← S →10
例3：假设车站每隔 10 分钟发一班车随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？

[探究三]：会面问题中的概率：
例4：两人商定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必需等迟到者40分钟方可离去，假如两人动身是各自独立的，在20：00到21：00之间各个时刻相见的可能性是相等的，求两人在商定的时间内相见的概率。

三、方法提升
1、随机数是均匀产生的，通过产生随机数可以替代大量的重复试验；
2、关于几何概型：
（1）我们是就平面的情形给出几何概型的，同样的方法明显也适用于直线或空间的情形，只需将“面积”相应地转变为“长度”、“体积”；
（2）几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，假如一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而全部基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决

四、反思感悟：

五、课时作业
一、选择题
1.如图所示，在一个边长分别为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为，，且高为b.现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　B. C. D.
2.如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为 (　　)
A. B. C. D.
3．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为 (　　)
A. B. C. D.
4．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为 (　　)
A. B. C. D.
5.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估量出阴影部分的面积约为 (　　)
A. B. C. D.
6.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45°，向圆盘内投镖，假如某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为 (　　)
A. B. C. D.
二、填空题
7．已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．
8．向面积为9的△ABC内任投一点P，那么△PBC的面积小于3的概率是__________．
9．《广告法》对插播广告的时间有确定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为，那么该台每小时约有________分钟的广告．
三、解答题
10．设不等式组表示的区域为A，不等式组表示的区域为B.
(1)在区域A中任取一点(x，y)，求点(x，y)∈B的概率；
(2)若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域B中的概率．

11．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.
(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；
(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：
所表示的平面区域内的概率．

12．已知关于x的一次函数y＝mx＋n.
(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；
(2)实数m，n满足条件，求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率．

13、投镖玩耍中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块。试验是向板中投镖，大事A表示投中阴影部分为成功，考虑大事A发生的概率。

15．（CB对讲机问题）（CB即CitizenBand市民波段的英文缩写）两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:0O时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？

16．(意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板．边长为18厘米，挂于前门四周的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；假如击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，假如击中靶上的其他部分，则得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：
（a）一张大馅饼，
（b）一张中馅饼，
（c）一张小馅饼，
（d）没得到馅饼的概率

17．（1）在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观看,求发觉大肠杆菌的概率。

（2）假如在一个5万平方公里的海疆里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海领域里任凭选定一点钻探,问钻到石油的概率是多少?

18、在线段[0，1]上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个大事中哪一个大事的概率大。

19．随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率.

20．（理科）随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求与之和不超过1，积不小于0.09的概率.