【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(11月第三期)：K单元-概率.docx

K单元 概率
名目
K单元 概率 1
K1　随大事的概率 1
K2　古典概型 1
K3　几何概型 1
K4 互斥大事有一个发生的概率 1
K5 相互对立大事同时发生的概率 1
K6　离散型随机变量及其分布列 1
K7　条件概率与大事的独立性 1
K8　离散型随机变量的数字特征与正态分布 1
K9 单元综合 1

K1　随大事的概率

K2　古典概型

【数学文卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】17、（本题满分12分）
某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名.为争辩工人的日平均生产量是否与年龄有关，现接受分层抽样的方法，从中抽取100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25 周岁以下”分成两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5 组：，
加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1) 从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率.
(2) 规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你依据已知条件作出22列联表，并推断是否有以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？

附表及公式：

0.100
0.050
0.010
0.001
K
2.706
3.841
6.635
10.828

【学问点】用样本估量总体；统计案例；古典概型. I2 I4 K2
【答案解析】(1) ；（2）

生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上
15
45
60
25周岁以下
15
25
40
合计
30
70
100
没有以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”.
解析：（1）由已知得，样本中25周岁以上的工人有60名，25周岁以下的工人有40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上的工人有（名），记为；25周岁以下的工人有(名)，记为.
从中随机任取2名工人，全部可能的结果为：,
，共10种.------2分
其中，至少抽到一名25周岁以下的工人的可能得结果为，，共7种.-----4分
故所求概率.-------6分
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，25周岁以上的生产能手有
（名），25周岁以上的生产能手有（名），----8分
据此可得列联表如下：

生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上
15
45
60
25周岁以下
15
25
40
合计
30
70
100
10分
所以=.
由于1.79<2.706，所以没有以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”.---12分
【思路点拨】(1) 先求样本中日平均生产件数不足60件的工人有5人，其中25周岁以下的2人，25周岁以上的3人，逐个写出从中随机任取2名工人的全部可能结果，共10种.其中
至少抽到一名25周岁以下的工人的可能得结果有7种，故所求概率；
（2）依据频率分布直方图求得：25周岁以上“生产能手”人数及“非生产能手”人数；25周岁以下“生产能手”人数及“非生产能手”人数.从而得列联表，然后据所给公式和附表求值并推断结论.

K3　几何概型

【数学理卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）word版】12、从区间内随机取出一个数x，从区间内随机取出一个数y，则使得的概率为 ；
【学问点】几何概型．K3
【答案解析】 解析：从区间[﹣5，5]内随机取出一个数x，从区间[﹣3，3]内随机取出一个数y，对应的区域面积为60，使得|x|+|y|≤4，落在矩形内的部分，如图所示，

面积为2××（2+8）×3=30，∴所求概率为=．故答案为：．
【思路点拨】从区间[﹣5，5]内随机取出一个数x，从区间[﹣3，3]内随机取出一个数y，对应的区域是长方形，使得|x|+|y|≤4，落在矩形内的部分，分别求出面积，即可得出结论．

【数学文卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】12、在区间 []上随机取一个数记为x，则使得的概率为 .
【学问点】几何概型概率公式. K3
【答案解析】 解析：由于在[]上正弦值大于或等于的区间是，所以所求=.
【思路点拨】依据几何概型的概率公式求解.

K4 互斥大事有一个发生的概率

K5 相互对立大事同时发生的概率

【数学理卷·2021届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（202211）word版】7．甲乙两人进行乒乓球竞赛，商定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜败相互独立，则竞赛停止时已打局数的期望为（ ▲ ）。
A． B． C． 　 　 D．
【学问点】随机变量，独立大事及其公式，期望K5,K6,K8
【答案解析】B解析：依题意知，ξ的全部可能值为2，4，6，
设每两局竞赛为一轮，则该轮结束时竞赛停止的概率为。若该轮结束时竞赛还将连续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮竞赛结果对下轮竞赛是否停止没有影响．从而有
【思路点拨】由题意，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，所以随机变量ξ的全部可能的取值为2，4，6，利用随机变量的定义及独立大事同时发生的概率公式求出每一个随机变量取值时对应的随机大事的概率，再由离散型随机的期望公式求出期望．

K6　离散型随机变量及其分布列

【数学理卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）word版】17、（本小题满分12分）坛子中有6个阄，其中3个标记为“中奖”，另外三个标记是“感谢参与”，甲、乙、丙三人份两轮按甲、乙、丙、甲、乙、丙的挨次依次抽取，当有人摸到“中奖”阄时，摸奖随即结束。
（1）若按有放回抽取，甲、乙、丙的中奖概率分别是多少？
（2）若按不放回抽取，甲、乙、丙的中奖概率分别是多少？
（3）按不放回抽取，第一轮摸奖时有人中奖则可获得奖金10000元，其次轮摸奖时才中奖可获得奖金6000元，求甲、乙、丙三人所获奖金总额的分布列和数学期望。
【学问点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．K6
【答案解析】（1）;（2）;（3）9800
解析：（1）按有放回抽取，
甲中奖概率是：p1=+（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，
乙中奖的概率是：p2=（1﹣）×+（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，
丙中奖的概率是：p3=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．
（2）按不放回抽取，
甲中奖概率是：p4=+（1﹣）（1﹣）（1﹣）×=，

乙中奖的概率是：p5=（1﹣）×=，
丙中奖的概率是：p4=（1﹣）×（1﹣）×=．
（3）依题设知ξ的全部可能取值为6000，10000．
且由题设，得：P（ξ=6000）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）×=，
P（ξ=10000）==．
故ξ的分布列为：
ξ
6000
10000
P

Eξ=6000×+10000×=9800．
【思路点拨】（1）按有放回抽取，利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率．（2）按不放回抽取，利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率．（3）依题设知ξ的全部可能取值为6000，10000，分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙、丙三人所获奖金总额ξ的分布列和数学期望．

【数学理卷·2021届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（202211）word版】7．甲乙两人进行乒乓球竞赛，商定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜败相互独立，则竞赛停止时已打局数的期望为（ ▲ ）。
A． B． C． 　 　 D．
【学问点】随机变量，独立大事及其公式，期望K5,K6,K8
【答案解析】B解析：依题意知，ξ的全部可能值为2，4，6，
设每两局竞赛为一轮，则该轮结束时竞赛停止的概率为。若该轮结束时竞赛还将连续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮竞赛结果对下轮竞赛是否停止没有影响．从而有
【思路点拨】由题意，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，所以随机变量ξ的全部可能的取值为2，4，6，利用随机变量的定义及独立大事同时发生的概率公式求出每一个随机变量取值时对应的随机大事的概率，再由离散型随机的期望公式求出期望．

K7　条件概率与大事的独立性

K8　离散型随机变量的数字特征与正态分布

【数学理卷·2021届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（202211）word版】7．甲乙两人进行乒乓球竞赛，商定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜败相互独立，则竞赛停止时已打局数的期望为（ ▲ ）。
A． B． C． 　 　 D．
【学问点】随机变量，独立大事及其公式，期望K5,K6,K8
【答案解析】B解析：依题意知，ξ的全部可能值为2，4，6，
设每两局竞赛为一轮，则该轮结束时竞赛停止的概率为。若该轮结束时竞赛还将连续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮竞赛结果对下轮竞赛是否停止没有影响．从而有
【思路点拨】由题意，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，所以随机变量ξ的全部可能的取值为2，4，6，利用随机变量的定义及独立大事同时发生的概率公式求出每一个随机变量取值时对应的随机大事的概率，再由离散型随机的期望公式求出期望．

K9 单元综合