1、分类解密——专题突破
求曲线方程中的“瓶颈题”
例1 已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.
(1) 求圆C的圆心轨迹L的方程;
(2) 求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.
练习1 (2022·苏中三市、宿迁调研)在平面直角坐标系xOy中,设曲线C1:+=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为4,曲线C1上的点到原点O的最短距离为.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.
(1) 求椭圆C2的标准方程.
(2) 设AB是过椭圆C2
2、中心O的任意弦,l是线段AB的垂直平分线,M是l上的点(与O不重合).
①若MO=2OA,当点A在椭圆C2上运动时,求点M的轨迹方程;
②若M是l与椭圆C2的交点,求△AMB的面积的最小值.
练习2 设双曲线C1的渐近线方程为y=±x,焦点在x轴上且实轴长为1.若曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和等于2,并且曲线C3:x2=2py(p>0,且是常数)的焦点F在曲线C2上.
(1) 求满足条件的曲线C2和曲线C3的方程;
(2) 过点F的直线l交曲线C3于点A,B(A在y轴左侧),若=,求直线l的倾斜角.
圆锥曲线中的最值与范围问题中“瓶颈题”
例1 如图,在直角坐
3、标系xOy中,点P到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.
(1) 求p,t的值;
(2) 求△ABP面积的最大值.
(例1)
练习 (2022·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,一条准线方程为x=2.P为椭圆C上一点,直线PF1交椭圆C于另一点Q.
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 若点P的坐标为(0,b),求过P,Q,F2三点的圆的方程;
(3) 若=λ,且λ∈,求·的最大值.
圆锥曲线中的定点与定值问
4、题中“瓶颈题”
例1 在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(,0),B(-,0),直线PA与PB的斜率之积为-.
(1) 求动点P的轨迹E的方程;
(2) 过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M,Q不重合),求证:直线MQ过定点.
练习 (2022·江西卷)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
(1) 求双曲线C的方程;
(2) 过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N,
5、证明:点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.
(练习)
探究性问题中“瓶颈题”
例1 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,定点M(2,0),椭圆短轴的端点是B1,B2,且MB1⊥MB2.
(1) 求椭圆C的方程.
(2) 设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A,B两点,试问:x轴上是否存在定点P,使PM平分∠APB? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
练习 (2022·山东卷)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有FA=FD.当点A的横坐标为3时,△ADF为
6、正三角形.
(1) 求抛物线C的方程.
(2) 若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E.
①证明:直线AE过定点,并求出定点坐标.
②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,恳求出最小值;若不存在,请说明理由.
解析几何中的证明问题
例1 (南方凤凰台百校大联考)如图,已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C'过点M(2,1),离心率为.抛物线C的顶点在原点且过点M.
(1) 当直线l0经过椭圆C'的左焦点且平行于OM时,求直线l0的方程;
(2) 斜率为-的直线l不过点M,与抛物线C交于A,B两个不同的点,求证:直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形.
(例1)
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
