2022届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分-开卷速查08-指数与指数函数.docx

开卷速查(八)　指数与指数函数
A级　基础巩固练
1．[2022·山东]设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝
A．[0,2] B．(1,3)
C．[1,3) D．(1,4)
解析：|x－1|<2⇔－2集的是(　　)
A．y＝－5x B．y＝1－x
C．y＝ D．y＝
解析：∵1－x∈R，y＝x的值域是正实数集，
∴y＝1－x的值域是正实数集．
答案：B
4．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于(　　)
A．5 B．7
C．9 D．11
解析：由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，
两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，
即22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝7.
答案：B
5．设函数f(x)＝2|x|，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(－1)＜f(2)＜f(－)
B．f(－)＜f(－1)＜f(2)
C．f(2)＜f(－)＜f(－1)
D．f(－1)＜f(－)＜f(2)
解析：由题意，f(x)＝2|x|＝2|－x|＝f(－x)，
即f(x)为偶函数．
故明显x≥0时，f(x)＝2x单调递增，所以f(－1)＝f(1)＜f(－)＝f()＜f(－2)＝f(2)．
答案：D
6．已知a＞0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时，均有f(x)＜，则a的取值范围是(　　)
A.∪[2，＋∞) B.∪(1,4]
C.∪(1,2] D.∪[4，＋∞)
解析：假如函数f(x)的定义域为[－1,1]，那么0＜a＜1时f(x)在x＝1处取得最大值，所以f(1)≤，解得≤a＜1；a＞1时，f(x)在x＝－1处取得最大值，所以f(－1)≤，解得1＜a≤2，故选C.
答案：C

解析：

答案：－23
8．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为__________．
解析：∵a＝＜1，∴f(x)＝ax是递减函数．
由f(m)＞f(n)，得m＜n.
答案：m＜n
9．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)且f(1)＝9.则f(x)的单调递减区间是__________．
解析：由f(1)＝9，得a2＝9，∴a＝3.
因此f(x)＝3|2x－4|.
又∵g(x)＝|2x－4|的递减区间为(－∞，2]，
∴f(x)的单调递减区间是(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
10．已知函数f(x)＝ .
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)由指数函数的性质知，要使y＝h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(由于若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不行能为R)．故a的值为0.
B级　力气提升练
11．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不行能成立的关系式有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个

解析：画出函数y1＝x和y2＝x的图像，如图所示．
由a＝b结合图像，可得a＜b＜0，或a＞b＞0，或a＝b＝0.
答案：B
12．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，确定成立的是__________．
①a<0，b<0，c<0；②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c；④2a＋2c<2.
解析：画出函数f(x)＝|2x－1|的图像(如图)，

由图像可知，a<0，b的符号不确定，c>0.故①②错；
∵f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|，
∴|2a－1|>|2c－1|，
即1－2a>2c－1，
故2a＋2c<2，④成立；
又2a＋2c>2，∴2a＋c<1，
∴a＋c<0，∴－a>c，∴2－a>2c，③不成立．
答案：④
13．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a＞0，a≠1)的图像经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围.
解析：(1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得
结合a＞0，且a≠1，解得
∴f(x)＝3·2x.
(2)要使x＋x≥m在(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝x＋x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
∵函数y＝x＋x在(－∞，1]上为减函数，
∴当x＝1时，y＝x＋x有最小值.
∴只需m≤即可．
14．设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)若f(1)>0，求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．
解析：∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，∴k－1＝0，即k＝1.
(1)∵f(1)>0，∴a－>0.
又a>0且a≠1，
∴a>1，f(x)＝ax－a－x，
∵f′(x)＝axlna＋a－xlna＝(ax＋a－x)lna>0，
∴f(x)在R上为增函数．

原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，
∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，
∴x>1或x<－4，
∴不等式的解集为{x|x>1，或x<－4}．
(2)∵f(1)＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0，
∴a＝2或a＝－(舍去)，
∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.
令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在[1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t(x)≥t(1)＝，
∴原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，
∴当t＝2时，w(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋)．
即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2.