1、
空间位置关系的证明
[典例]
(2021·山东文，19)如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.
[审题视角] (1)要证明线面平行，可考虑证明线线平行，也可证面面平行，进而转化为证明线面平行、利用三角形的中位线或平行四边形的性质证明线线平行是证明平行问题的首要任务．(2)要证明平面EFG⊥面EMN，可考虑先证明平面EMN中的MN垂直于平面EFG，即转化为证明线面垂直，而要证明MN⊥面EFG，需证明MN垂直于
2、面EFG中的两条相交直线．
[解析] (1)连接CF.
由于F为AB的中点，所以AF＝AB.
又CD＝AB，所以AF＝CD.
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．
因此CF∥AD.
又CF⃘平面PAD，所以CF∥平面PAD.
由于E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又EF⃘平面PAD，所以EF∥平面PAD.
由于CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又CE平面CEF，所以CE∥平面PAD.
(2)证明：由于E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又AB⊥PA，所以AB⊥EF.
同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG＝F，EF平
3、面EFG，FG平面EFG，
因此AB⊥平面EFG.
又M，N分别为PD，PC的中点，
所以MN∥CD.
又AB∥CD，所以MN∥AB.
因此MN⊥平面EFG.
又MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
证明空间线面位置关系的一般步骤：
第一步 审清题意
分析条件，挖掘题目中平行与垂直关系．
其次步 明确方向
确定问题方向，选择证明平行或垂直的方法，必要时添加挂念线．
第三步 给出证明
利用平行垂直关系的判定或性质给出问题的证明．
第四步 反思回顾
查看关键点、易漏点、检查使用定理时定理成立的条件是否遗漏，符合表达是否精确 ．
1.
4、
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
解：(1)设AC与BD交于点G.
由于EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1.
所以四边形AGEF为平行四边形，
所以AF∥EG.由于EG平面BDE，AF⃘平面BDE，
所以AF∥平面BDF.
(2)如图，连接FG.
由于EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，
所以四边形CEFG为菱形．
所以CF⊥EG.
由于四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.
又由于平面ACEF⊥平面ABCD，
且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF.
所以CF⊥BD.
又BD∩EG＝G.
所以CF⊥平面BDE.
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