乌鲁木齐地区2021届高三下学期第一次诊断性测验数学(理)试题-WORD版含答案.docx

乌鲁木齐地区2021年高三班级第一次诊断性测验
文科数学（问卷）
（卷面分值：150分考试时间：120分钟）
留意事项：
1.本卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷{或答题卡）的指定位置上
2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚
第1卷（选择题共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
l.已知集合 ， 则
A. B.
C. D.
2.在复平面内复数 对应的点在
A.第一象限 B.其次象限
C.第三象限 D.第四象限
3.设函数f(x)满足 ，则f(0)=
A. B.0
C. D.1
4.“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.将函数 的图象向左平移 个单位后的图形关于原点对称，则函数f(x)在 上的最小值为
A. B.
C. D.
6.一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，
俯视图为正方形．则这个几何体的体积为
A. B.
C. 1 D.
7. 从1，2，3，4，5这五个数中，随机取出两个数字，剩下三个数字的和是奇数的概率是
A. 0.3 B. 0.4
C.0.5 D. 0.6
8.设 是公差不为零的等差数列， ．且 成等比数列，则数列 的前n项和
A. B.
C. D.
9.执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印出的点在
圆 内的个数是
A.2 B. 3
C.4 D.5
10．若双曲线 的渐近线与圆 相
离，则其离心率e的取值范围是
A.e>l B．
C. D.
11.过抛物线 的焦点F的直线 交抛物线于A，B，交其准线于点C．若
，则抛物线的方程为
A. B.
C. D.
12.设数列 的前n项和为 ，且满足 ．则 的取值范围是
A. B. (0，+∞)
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必需作答第22题一第24题为选考题，考生依据要求作答
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13.已知x，y满足条件 ，则 的最小值为________.
14.正三角形ABC的边长为 ．将它沿高AD翻折，使二面角B-AD-C的大小为 ，则四周体ABCD的外接球的体积为________.
15.在△PQR中，若 ,测△PQR面积的最大值为________.。
16.已知函数 有且仅有一个零点 ,若 ，则a的取值范围是________.
三、解答题：第17~ 21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是A,b，c，且
(I)求证tanA=3tanB;
(Ⅱ)若 ，求△ABC的面积
18.如图．在直三棱柱 中， ．
E．F分别是 的中点
(I)求证AE 平面BCF;
(Ⅱ)求点F到平面ABE的距离。
19.某市现有居民300万人，每天有1%的人选择乘出租车出
行，记每个人的乘车里程为x(km)， 由调查数据得
到x的频率分布直方图(如图)，在直方图的乘车里程分组
中，可以用各组的区间中点值代表该组的各个值，乘车里程
落人该区间的频率作为乘车里程取该区间中点值的概率，现
规定乘车里程x≤3时，乘车费用为10元，当x>3时，每超
出1km（不足1km时按1km计算），乘车费用增加l.3元
(I)试估算乘客中乘车费用不超过15.2元的概率；
(Ⅱ)试估量出租车公司一天的总收入是多少？（精确到0.01万元）
20.已知椭圆 的离心率为 ， 是其焦点，点P在椭圆上
(I)若 ，且 的面积等于1．求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线 交椭圆于另一点Q．分别过点P，Q作直线PQ的垂线，交x轴于点M，N，
当 取最小值时，求直线PQ的斜率
2l.已知函数 在点 处的切线方程为y=2x
(I)求a的值；
(Ⅱ)求证当 时
请考生在第22~23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，作答时2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑
22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
过以AB为直径的圆上C点作直线交圆于E点，交AB延长线于
D点，过C点作圆的切线交AD于F点，交AE延长线于G点，且
GA=GF
(I)求证CA=CD,
(Ⅱ)设H为AD的中点，求证BH．BA=BF．BD
23.（本题满分10分）选修4 -4.坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，P是直线2x +2y -1 =0上的一点，Q是射线OP上的一点，满足
(I)求Q点的轨迹；
(Ⅱ)设点M(x，y)是(I)中轨迹上任意一点，求x+7y的最大值
24.（本题满分10分）选修4-5:不等式选讲
设函数
(I)证明
(Ⅱ)若不等式 的解集非空，求a的取值范围
乌鲁木齐地区2021年高三班级第一次诊断性测验
理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
B
B
A
A
D
A
A
D
B
C
D
C

1.选B.【解析】∵，，∴，故选B.

2.选B.【解析】∵，对应的点为在其次象限，故选B.
3.选A.【解析】依题意，令，∴，
∴，故，∴，故选A.
4.选A.【解析】∵，∴，又，∴；由，得，或；∵ “”“，或”故选A.
5.选D.【解析】的图象向左平移个单位得，它的图象关于原点对称，∴，即，又，∴，∴∵，∴，∴在上的最小值为，故选D.
6.选A.【解析】该几何体的直观图如图所示：为一四棱锥，其底
面是正方形，平面，,.
,又,∴，∴正方形
的面积，∴.故选A.
7.选A.【解析】已知都是区间内任取的一个实数，则满足的区域面积是由围成的正方形，其面积是，而满足的区域面积为∴.故选A.
8.选D.【解析】设的公差为，∴，又成等比数列，∴即，，故，，∴，故选D.
9.选B.【解析】执行第1次运算打印点，；执行第2次运算打印点，；执行第3次运算打印点，；执行第4次运算打印点，；执行第5次运算打印点，；执行第6次运算打印点，；结束循环，其中在圆内的点有，，共个，故选B.
10.选C.【解析】双曲线的渐近线是，圆
的圆心是，半径是，依题意，有，即
化简得，即.故选C.
11.选D.【解析】分别过点作准线的垂线，垂足分别为，
∴,.又∵，∴，∴ ∴,又,∴，∴，∴，∴抛物线方程为.故选D.
12.选C.【解析】已知，当时，得；当时，,两式相减，得，，由题意知，，∴（），∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，
∴.故选C.

二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.
13.填.【解析】如图可知的最小值是．
14.填.【解析】由题意得四周体是底面边长为的正三角形，侧棱垂直底面，且，，，则外接球球心在过底面中心垂直于底面的垂线上，且到底面的距离等于的一半，∴
∴.
15.填.【解析】在中设所对的边分别为
由题意知：，，即
可知又
∴
而，当且仅当时等号成立
所以，当且仅当时

16.填.【解析】已知
则
①恒成立，则，这与冲突.
②若恒成立，明显不行能.
③有两个根，而，则在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增.故，即，
解得：.
三、解答题：共6小题，共70分.
17．（12分）
（Ⅰ）∵ 由正弦定理得

∴
即，易知，且，
上式两边除以,得…………………………………… 6分
（Ⅱ）∵,∴，
由，又，，得
而
∴ …12分
18．（12分）
（Ⅰ）依据题意，建立如图空间直角坐标系：
则

∵ ∴
即,，又平面，且
∴ …… ……6分
（Ⅱ）设平面的法向量
∵
由得，令，得，∴
同理可得平面的一个法向量，∴
由图推断二面角的平面角为钝角，∴其余弦值为．………12分

19．（12分）
依据题意得到取的各组中点值依次为；取这些中点值的概率依次为
Ⅰ）从乘客中任选2人，其乘车里程相差超过km有3种状况：km和km；km和km；km和km．∴从乘客中任选2人，其乘车里程相差超过10km的概率为： ………………………… 5分
（Ⅱ）答案一：
依题意乘客被简化为只有五类，其乘车里程依次为3km,7km,11km,15km,19km.
乘车里程为3km的乘客其打车总费用（万元）
乘车里程为7km的乘客其打车总费用（万元）
乘车里程为11km的乘客其打车总费用（万元）
乘车里程为15km的乘客其打车总费用（万元）
乘车里程为19km的乘客其打车总费用（万元）
∴出租车公司一天的总收入为（万元）…12分
答案二：
依题意，将乘客按其乘车里程分为五组，分别计算每一组乘客的乘车总费用为：
第一组：

=（万元）
其次组：
=（万元）
第三组：
=（万元）
第四组：
=（万元）
第五组：
=（万元）
∴出租车公司一天的总收入为（万元）………… 12分
以上两种答案均视为正确．

20．（12分）
（Ⅰ）已知椭圆的离心率为，即，又∵ ∴ 又∵，∴，
由点在椭圆上，∴，在中， 可得，∴椭圆的标准方程为 ………………………… 5分
（Ⅱ）不妨设是左焦点，，依题意知,点, 分别在轴上∴直线的倾斜角不等于.
设直线的斜率为，倾斜角为，则直线的方程为:
解方程组，得：
设此方程的两个根为，由韦达定理得
且
可得

故=，
又∵，∴
∴，令 ，
则=
∴，得，或，或
当时，，故函数在上为减函数，
当时，，故函数在上为增函数，
∴有最小值，
∴取最小值时，，即．………………………… 12分

21．（12分）
（Ⅰ）已知则，
，由题意知，∴ ∴ …………… 4分
（II）令
则

i)当时，，
当时，，即
∴函数在上为增函数
∴即当时，
ii)当时，，
∴时，，
从而，即
从而函数在上为减函数
∴时，这与题意不符
综上所述当时，，的取值范围为 …………… 12分

22．（10分）
（Ⅰ）∵∴， ∵与圆相切于∴
∵，∴
∴. ……………………………………………………………… 5分
（Ⅱ）∵为的中点, ，∴，连结，
∵是直径, 点在圆上∴， ∴，
∵，∴，又∵，
∴∽，∴∴，
故． …………… 10分

23．（10分）
（Ⅰ）以为极点，为极轴，建立极坐标系，设点,的极坐标分别为，，
由题意，，得，∴点的直角坐标为，
在直线上，∴ ，，
化成直角坐标方程得，
∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（原点除外）． …………………5分
（Ⅱ）点轨迹的参数方程为
则，其中
∴的最大值是18． ………………………………………10分

24．（10分）
（Ⅰ）
……………………………………5分
（Ⅱ）函数
函数的图象为：

当时，，依题意，，则
∴的取值范围是 …………………………………………………………10分

以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．