【2021届备考】2021届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第四期)K单元概率.docx

K单元概率
名目
K单元概率 1
K1　随大事的概率 1
K2　古典概型 2
K3　几何概型 5
K4 互斥大事有一个发生的概率 6
K5 相互对立大事同时发生的概率 6
K6　离散型随机变量及其分布列 6
K7　条件概率与大事的独立性 8
K8　离散型随机变量的数字特征与正态分布 8
K9 单元综合 8

K1　随大事的概率

【数学文卷·2021届黑龙江省大庆市铁人中学高三12月月考（期中）（202212）】19. （本小题12分）某次的一次测试成果的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．

（Ⅰ）求参与测试的总人数及分数在[80，90）之间的人数；
（Ⅱ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析同学失分状况，求在抽取的试卷中，恰有一份分数在[90，100）之间的概率．
【学问点】用样本估量总体随大事的概率I2 K1
【答案】（Ⅰ）4（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）成果在[50，60）内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，成果在[90，100]内同有2人．由，解得n=25．
成果在[80，90）之间的人数为25﹣（2+7+10+2）=4人
∴参与测试人数n=25，分数在[80，90）的人数为4人
（Ⅱ）设“在[80，100]内的同学中任选两人，恰有一人分数在[90，100]内”为大事M，
将[80，90）内的4人编号为a，b，c，d；[90，100]内的2人编号为A，B
在[80，100]内的任取两人的基本大事为：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15个．其中，恰有一人成果在[90，100]内的基本大事有
aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB共8个．
∴所求的概率得。
【思路点拨】依据频率分布直方图求出人数，列出基本大事求出概率。

K2　古典概型

【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三12月月考（202212）】16．（本题满分12分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量为取出2球中白球的个数，已知．
（Ⅰ）求袋中白球的个数；
（Ⅱ）求随机变量的分布列及其数学期望．
【学问点】古典概型 离散型随机变量及其分布列K2 K6
【答案】【解析】（Ⅰ）6；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）设袋中有白球n个，则， 解得n=6．
（Ⅱ）由于,所以随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P

得.
【思路点拨】一般遇到求随机变量的分布列与数学期望，通常先确定随机变量的取值，再计算各个取值的概率，即可列表得分布列，用公式求期望.

【数学文卷·2021届山西省山大附中高三上学期期中考试（202211）】18．（本题满分12分）已知集合，.
（Ⅰ）在区间上任取一个实数，求“”的概率；
（Ⅱ）设为有序实数对，其中是从集合中任取的一个整数，是从集合中任取的一个整数，求“”的概率．
【学问点】几何概型，古典概型K2 K3
【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）由已知，，…………2分
设大事“”的概率为，这是一个几何概型，则.…………………6分
（Ⅱ）由于，且，
所以，基本大事共12个：，，，，，，，，，，，. …………………2分
设大事为“”，则大事中包含9个基本大事，…………10分
大事的概率.…………………12分
【思路点拨】由题意得，依据几何概型的概率公式即可求解；需要列出符合题意的基本大事的个数以及满足题意的基本大事的个数，再按公式代入求解.

【数学文卷·2021届四川省成都外国语学校高三12月月考（202212）】16. （本小题满分12分）
组距
频率
0.01
0.07
75
80
85
90
95
0.02
100
0.04
0.06
服务时间/小时
OO
某市规定，高中同学在校期间须参与不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位同学参与社区服务的数据，按时间段（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的20人中，参与社区服务时间不少于90小时的同学人数；
（Ⅱ）从参与社区服务时间不少于90小时的同学中任意选取2人，求所选同学的参与社区服务时间在同一时间段内的概率．
【学问点】用样本估量总体 古典概型I2 K2
【答案】【解析】（Ⅰ）6人；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）由题意可知，
参与社区服务在时间段的同学人数为（人），
参与社区服务在时间段的同学人数为（人）．
所以参与社区服务时间不少于90小时的同学人数为 （人）．
（Ⅱ）设所选同学的服务时间在同一时间段内为大事．由（Ⅰ）可知，
参与社区服务在时间段的同学有4人，记为；
参与社区服务在时间段的同学有2人，记为．
从这6人中任意选取2人有
共15种状况．
大事包括共7种状况．
所以所选同学的服务时间在同一时间段内的概率．
【思路点拨】在频率分布直方图中，留意纵坐标是频率/组距，在求概率时，一般通过列举法寻求所求大事包含的基本大事的个数.

K3　几何概型

【数学文卷·2021届山西省山大附中高三上学期期中考试（202211）】18．（本题满分12分）已知集合，.
（Ⅰ）在区间上任取一个实数，求“”的概率；
（Ⅱ）设为有序实数对，其中是从集合中任取的一个整数，是从集合中任取的一个整数，求“”的概率．
【学问点】几何概型，古典概型K2 K3
【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）由已知，，…………2分
设大事“”的概率为，这是一个几何概型，则.…………………6分

（Ⅱ）由于，且，
所以，基本大事共12个：，，，，，，，，，，，. …………………2分
设大事为“”，则大事中包含9个基本大事，…………10分
大事的概率.…………………12分
【思路点拨】由题意得，依据几何概型的概率公式即可求解；需要列出符合题意的基本大事的个数以及满足题意的基本大事的个数，再按公式代入求解.

【数学文卷·2021届四川省成都外国语学校高三12月月考（202212）】3. 在区间上随机取一个数，则大事：“”的概率为（ ）
A． B ． C． D．
【学问点】几何概型K3
【答案】【解析】C
解析：对于[－π, π]，由cosx≥0，得x∈,所以所求的概率为，则选C.
【思路点拨】先推断出是几何概型，归纳为所求概率为长度之比，即可解答.

K4 互斥大事有一个发生的概率

K5 相互对立大事同时发生的概率

K6　离散型随机变量及其分布列

【数学理卷·2021届山西省山大附中高三上学期中考试试题（202211）】18．（本小题满分12分）
甲、乙两人参与某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．
（1）求乙得分的分布列和数学期望；
（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
【学问点】概率离散型随机变量及分布列K6
【答案】(1)；(2) .
【解析】解析：解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为，则的可能取值为．………………1分
；；
；．………………5分
乙得分的分布列如下：

………………6分
．………………7分
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为大事，乙入选为大事.
则，………………9分
．………………11分
故甲乙两人至少有一人入选的概率．……12分
【思路点拨】（Ⅰ）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立大事，即可求得结论．

【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三12月月考（202212）】16．（本题满分12分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量为取出2球中白球的个数，已知．
（Ⅰ）求袋中白球的个数；
（Ⅱ）求随机变量的分布列及其数学期望．
【学问点】古典概型 离散型随机变量及其分布列K2 K6
【答案】【解析】（Ⅰ）6；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）设袋中有白球n个，则， 解得n=6．
（Ⅱ）由于,所以随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P

得.
【思路点拨】一般遇到求随机变量的分布列与数学期望，通常先确定随机变量的取值，再计算各个取值的概率，即可列表得分布列，用公式求期望.

K7　条件概率与大事的独立性

K8　离散型随机变量的数字特征与正态分布

K9 单元综合