2021高中数学北师大版选修2-2导学案：《变化的快慢与变化率》.docx

第1课时变化的快慢与变化率1.通过实例,明白变化率在实际生活中的应用,探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义.2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念,体会靠近的思想和用靠近的思想思考问题的方法.借助多媒体播放2022年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.我们知道运动员的平均速度(平均变化率)不肯定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢?问题1:依据以上情境,设陈若琳相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s) 存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,假如用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:(1)在0t0.5这段时间里,运动员的平均速度v-=.(2)在1t2这段时间里, 运动员的平均速度v-=.问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是.假如用x1与增量x表示,平均变化率的公式是 .问题3:如何求函数的瞬时变化率?对一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设x=x1-x0,y=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是yx=f(x1)-f(x0)x1-x0=.而当x趋于0时,平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.问题4:平均变化率与瞬时变化率的关系是什么?(1)区分:平均变化率刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在点x0处变化的快慢.(2)联系:当x趋于0时,平均变化率yx趋于一个常数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.1.函数f(x)=x2在区间-1,3上的平均变化率是().A.4B.2C.14D.342.在曲线y=x2+2的图像上取一点(1,3)及四周一点(1+x,3+y),则yx等于().A.x+1x+2B.x-1x-2C.x+2D.2+x-1x3.函数f(x)=x+1x在区间1,2上的平均变化率为.4.婴儿从诞生到第24个月的体重变化如图,求其次年婴儿体重的月平均变化率.平均变化率已知函数f(x)=2x2+3x-5.(1)求当x1=4且x=1时,函数增量y和平均变化率yx;(2)求当x1=4且x=0.1时,函数增量y和平均变化率yx.瞬时变化率一辆汽车按规律s=3t2+1做直线运动,估量汽车在t=3 s时的瞬时速度.(时间单位:s;位移单位:m)变化率的意义圆的面积S随着半径r的变化而变化.试分析圆的面积随半径r增大而增大的快慢状况.已知函数f(x)=x2+x,计算f(x)在区间x0,x0+x上的平均变化率,并求当x0=2,x=0.1时平均变化率的值.求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的瞬时变化率.求函数y=x2在x=1,2,3四周的平均变化率,取x的值为13,哪一点四周的平均变化率最大?1.一物体的运动方程是s=3+t2,则在一小段时间2,2.1内相应的平均速度为().A.0.41B.3C.4D.4.12.函数y=2x2-x在x=2四周的平均变化率是().A.7B.7+xC.7+2xD.7+2(x)23.一质点按规律s(t)=2t3运动,则t=1时的瞬时速度为.4.求函数f(x)=ln x在区间1e2,1e上的平均变化率.若一物体运动方程如下:s=3t2+2(t3),29+3(t-3)2(0t3),(位移单位:m,时间单位:s),求:(1)物体在t3,5内的平均速度;(2)物体的初速度v0;(3)物体在t=1时的瞬时速度.考题变式(我来改编):答案其次章变化率与导数第1课时变化的快慢与变化率学问体系梳理问题1:(1)h(0.5)-h(0)0.5-0=4.05 m/s(2)h(2)-h(1)2-1=-8.2 m/s问题2:f(x2)-f(x1)x2-x1f(x1+x)-f(x1)x问题3:f(x0+x)-f(x0)x基础学习沟通1.Bf(3)-f(-1)3-(-1)=32-(-1)24=2.2.Cyx=(1+x)2+2-(12+2)x=2x+(x)2x=2+x.3.12f(2)-f(1)2-1=2+12-(1+11)1=12.4.解:由图可知,其次年婴儿体重的平均变化率为14.25-11.2524-12=312=0.25(千克/月).即其次年婴儿体重的月平均变化率为0.25(千克/月).重点难点探究探究一:【解析】f(x)=2x2+3x-5,y=f(x1+x)-f(x1)=2(x1+x)2+3(x1+x)-5-(2x12+3x1-5)=2(x)2+2x1x+3x=2(x)2+(4x1+3)x.(1)当x1=4,x=1时,y=212+(44+3)1=21,yx=211=21.(2)当x1=4,x=0.1时,y=20.12+(44+3)0.1=1.92,yx=1.920.1=19.2.【小结】求平均变化率的主要步骤:(1)先计算函数值的转变量y=f(x2)-f(x1);(2)再计算自变量的转变量x=x2-x1;(3)得平均变化率yx=f(x2)-f(x1)x2-x1.探究二:【解析】当时间从3变到3+t时,v-=s(3+t)-s(3)t=3(3+t)2+1-(332+1)t=3t+18,当t趋于0时,v-趋于常数18.这辆汽车在t=3 s时的瞬时速度为18 m/s.【小结】要求瞬时速度可先求平均速度,t趋于0,则平均速度趋于瞬时速度,理解求法中的靠近思想.探究三:【解析】圆的面积S随着半径r的平均变化率为Sr=(r+r)2-r2r=2rr+(r)2r=2r+r,由Sr=2r+r可知瞬时变化率2r(很有意思,这竟是圆的周长!)随半径增大而增大,因此圆的面积增大加快.【小结】变化率是反映变化快慢的一个数学量,可以通过求变化率来看变化的快慢状况.思维拓展应用应用一:函数f(x)=x2+x在区间x0,x0+x上的平均变化率为f(x0+x)-f(x0)x0+x-x0=(x0+x)2+(x0+x)-(x02+x0)x=(2x0+1)x+(x)2x=2x0+1+x.当x0=2,x=0.1时,函数f(x)=x2+x在区间2,2.1上的平均变化率为22+1+0.1=5.1.应用二:yx=f(2+x)-f(2)x=-(2+x)2+3(2+x)-(-22+32)x=-(x)2-xx=-x-1,当x趋于0时,yx趋于-1.即函数f(x)在x=2处的瞬时变化率为-1.应用三:在x=1四周的平均变化率为k1=f(1+x)-f(1)x=(1+x)2-1x=2+x;在x=2四周的平均变化率为k2=f(2+x)-f(2)x=(2+x)2-22x=4+x;在x=3四周的平均变化率为k3=f(3+x)-f(3)x=(3+x)2-32x=6+x.若x=13,则k1=2+13=73,k2=4+13=133,k3=6+13=193,由于k1k2k3,所以在x=3四周的平均变化率最大.基础智能检测1.Dv-=s(2.1)-s(2)t=3+2.12-(3+22)2.1-2=4.1.2.C所求的平均变化率为2(2+x)2-(2+x)-(222-2)x=7x+2(x)2x=7+2x.3.6st=2(1+t)3-213t=6+6t+2(t)2,当t趋于0时,平均速度趋于6,即瞬时速度为6.4.解:函数f(x)=ln x在区间1e2,1e上的平均变化率为f(1e)-f(1e2)1e-1e2=ln1e-ln1e2e-1e2=e2e-1(-1+2)=e2e-1.全新视角拓展解:(1)物体在t3,5内的时间变化量为t=5-3=2,物体在t3,5内的位移变化量为s=352+2-(332+2)=48,物体在t3,5上的平均速度为st=482=24(m/s).(2)求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度.物体在t=0四周的平均变化率为st=s(0+t)-s(0)t=29+3(0+t)-32-29+3(0-3)2t=3t-18,当t趋于0时,st趋于-18,物体在t=0处的瞬时变化率为-18,即物体的初速度为-18 m/s.(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.物体在t=1四周的平均变化率为st=s(1+t)-s(1)t=29+3(1+t)-32-29+3(1-3)2t=3t-12,当t趋于0时,st趋于-12,物体在t=1处的瞬时变化率为-12,即物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.