1、
等差数列的前n项和的求解错误
[典例] (2022·湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项的和．
[审题视角] (1)解方程产生漏解．
(2)缺乏对n的分类争辩，数列{|an|}并不是等差数列，n≤2时，|an|＝－an，n≥3时|an|＝an.
(3)忽视了将S2＝5合并入Sn＝n2－n＋10(n≥3)环节．
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，
由题意得
解得或
所以由等差数列通项公式可得
a
2、n＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
故an＝－3n＋5，或an＝3n－7.
(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；
当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．
故|an|＝|3n－7|＝
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n＝1时，S1＝|a1|＝4；
当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；
当n≥3时，
Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)
＝5＋＝n2－n＋10.
当n＝2时，满足
3、此式．
综上，Sn＝
1．给出数列{an}，要求数列{|an|}的前n项，关键是分清n取什么值时an>0或an<0.
2．当{an}的各项都为非负数时，{|an|}就等于{an}，{an}的前n项和易求，当从某项开头其余各项都为负数(或正数)时，在求{|an|}的前n项和时，要充分利用{an}的前n项和公式，这样能简化解题过程．
3．当所求的前n项和的表达式需分状况争辩时，其结果应用分段函数表示．
1．(2022·盐城模拟)设等差数列{an}的前n项和Sn＝m，前m项和Sm＝n(m≠n)则它的前m＋n项的和Sm＋n＝________.
解析：法一：设{an}的公差为d，
4、则由Sn＝m，Sm＝n，
得
②－①得(m－n)a1＋·d＝n－m，
∵m≠n，∴a1＋d＝－1.
∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋d
＝(m＋n)(a1＋d)＝－(m＋n)．
法二：设Sn＝An2＋Bn(n∈N＋)，
则
③－④得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m.
∵m≠n，∴A(m＋n)＋B＝－1.
∴A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)，
即Sm＋n＝－(m＋n)．
答案：－(m＋n)
2．(2022·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A．3 B．4
C．
5、5 D．6
解析：Sm－Sm－1＝am＝2，Sm＋1－Sm＝am＋1＝3，
∴d＝am＋1－am＝3－2＝1，
Sm＝a1m＋·1＝0，①
am＝a1＋(m－1)·1＝2，
∴a1＝3－m.②
②代入①得3m－m2＋－＝0，
∴m＝0(舍去)，m＝5，故选C.
答案：C
3．在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15.求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值．
解：解法1：∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋d＝15×20＋d.
∴d＝－.
∴an＝20＋(n－1)×(－)＝－n＋.
∴a13＝0.
即当n≤12时，
6、an>0，n≥14时，an<0.
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×(－)＝130.
解法2：同解法一，求得d＝－，
∴Sn＝20n＋·(－)＝－n2＋n
＝－(n－)2＋.
∵n∈N＋，
∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
解法3：同解法一，求得d＝－，
又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
∴5a13＝0，
即a13＝0.
又a1>0，
∴a1，a2，…，a12均为正数．
而a14及以后各项均为负数，
∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
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