1、选修4-5 不等式选讲
一、填空题
1．不等式＞的解集是________．
解析 由确定值的意义知，原不等式同解于＜0，
即x(x－2)＜0，∴0＜x＜2.
答案 (0，2)
2．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足________．
解析 由|x－a|＜1得a－1＜x＜a＋1.
由|x－b|＞2得x＜b－2或x＞b＋2.
∵A⊆B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2，
即a－b≥3或a－b≤－3，∴|a－b|≥3.[来源XK]
答案 |a－b|≥3
3．对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－
2、2|≥8的解集为________．
解析 法一 (零点分段法)由题意可知，
或或
解得x≥0，故原不等式的解集为{x|x≥0}．
法二 (几何意义法)如图，在数轴上令点A、B的坐标分别为－10，2，在x轴上任取一点P，其坐标设为x，则|PA|＝|x＋10|，|PB|＝|x－2|，观看数轴可知，要使|PA|－|PB|≥8，则只需x≥0.故原不等式的解集为{x|x≥0}．
答案 {x|x≥0}
4．若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
解析 由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3.所以只需a≤3即可．
答案
3、 (－∞，3]
5．若logx y＝－2，则x＋y的最小值是________．
解析 ∵logxy＝－2，∴y＝，
∴x＋y＝x＋＝＋＋[来源:学科网ZXXK]
≥3＝.
答案
6．设不等式＋≤a对一切x＞0，y＞0恒成立，求实数a的最小值为________．
解析 原题即a≥对一切x＞0，y＞0恒成立．
设A＝，
A2＝＝1＋≤2，
当x＝y时等号成立，∵A＞0，
∴0＜A≤.即A有最大值.
∴当a≥时，＋≤a对一切x＞0，y＞0成立．[来源:Zxxk.Com]
∴a的最小值为.
答案
7．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________
4、．
解析 ∵a≥＝对任意x＞0恒成立，设u＝x＋＋3，
∴只需a≥恒成马上可．
∵x＞0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．
由u≥5，知0＜≤，∴a≥.
答案
8．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h：命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．
解析 |a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．
答案 必要不充分
二、解答题
9．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m的值；
(2
5、)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
解 (1)由于f(x＋2)＝m－|x|，
所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
≥2＝9.
10．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
证明 法一：由于a，b，c均为正数，由均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
＋＋≥3(abc)－，
6、
所以≥9(abc)－.②
故a2＋b2＋c2＋≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．
法二：由于a，b，c均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，
c2＋a2≥2ac.
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac①
同理＋＋≥＋＋②
故a2＋b2＋c2＋[来源:学|科|网]
≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．
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