2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第8章-第8讲--立体几何中的向量方法(二).docx

第8讲 立体几何中的向量方法（二）
一、选择题
1．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　　)
A. B. C. D．3
解析 两平面的一个单位法向量n0＝，故两平面间的距离d＝|·n0|＝.
答案　B
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为 (　　)．
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析　设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°.
答案　A
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 (　　)．
A. B. C. D.
解析　建立坐标系如图，
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)．
＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，
cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
答案　B
4．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝(　　)．
A．2 B. C. D．1
解析　如图，建立直角坐标系D­xyz，由已
知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，
由AB＝2解得t＝.
答案　C
5．如图，在四周体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A－BC－D的大小为 (　　)．
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
解析　二面角A－BC－D的大小等于AB与CD所成角的大小.＝＋＋.而2＝2＋2＋2－2·||·cos 〈，〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴AB与CD所成角为，即二面角A－BC－D的大小为.故选B.
答案　B
6．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为(　　)

A. B.
C．2 D.
解析 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B10,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)
设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，
＝(0,2,2)，
设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)．
则⇒，令z＝－1，
得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，
则由cos60°＝，得＝，即a＝，
故AD＝.
答案 A
二、填空题
7．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．
解析　cos〈n，a〉＝＝＝－.
又l与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos〈n，a〉|＝
答案　.
8．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.
解析　由已知得＝＝，
∴8 ＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.
答案　－2或
9．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．
解析　如图，建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1由已知条件A(1,0,0)，E，F，
＝，＝，
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
面AEF与面ABC所成的二面角为θ，
由得
令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)
平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)
cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝.
答案　
10．在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是________．
解析　如图所示建立空间直角坐标系，设OA＝OB＝OC＝1，则A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，M，故＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝.
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则由得
令x＝1，得n＝(1,1,1)．故cos〈n，〉＝＝，
所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正切值为.
答案　
三、解答题
11．如图，四周体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分别为棱BC、AD的中点．
(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；
(2)求E到平面ACD的距离；
(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值．
解　如图，分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)．
(1)∵＝(0,0，－4)，＝(－2,2,2)，
∴|cos〈，〉|＝＝，
∴异面直线AB与EF所成角的余弦值为.
(2)设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则∵＝(4,0，－4)，＝(－4,4,0)，
∴
∴x＝y＝1，∴n＝(1,1,1，)．
∵F∈平面ACD，＝(－2,2,2)，
∴E到平面ACD的距离为d＝＝＝.
(3)EF与平面ACD所成角的正弦值为|cos〈n，〉|＝＝
12．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)求二面角P－BD－A的大小．
(1)证明　如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2，0,0)，
C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，
∴＝(0,0,3)，＝(2，6,0)，
＝(－2，2,0)．
∴·＝0，·＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC.
又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC.
(2)解　设平面ABD的法向量为m＝(0,0,1)，
设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0.∵＝(－2，0,3)，
∴解得
令x＝，则n＝(，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝.
∴二面角P－BD－A的大小为60°.
13．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.
(1)证明：DC1⊥BC.
(2)求二面角A1－BD－C1的大小．
(1)证明　由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，
故DC＝DC1.
又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.
而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.
由于BC⊂平面BCD，所以DC1⊥BC.
(2)解　由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz.由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)．
则＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)，＝(－1,0,1)．
设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则
即可取n＝(1,1,0)．
同理，设m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，则
即可取m＝(1,2,1)．
从而cos〈n，m〉＝＝.
故二面角A1－BD－C1的大小为30°.
14．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；
(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

解 方法一：
(1)证法一：取CE的中点G，连接FG、BG.

∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB.
又AB＝DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB，
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.
∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，
∴AF∥平面BCE.
证法二：取DE的中点M，连接AM、FM，
∵F为CD的中点，∴FM∥CE.
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB.
又AB＝DE＝ME，
∴四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE.
∵FM、AM⊄平面BCE，CE、BE⊂平面BCE，
∴FM∥平面BCE，AM∥平面BCE.
又FM∩AM＝M，∴平面AFM∥平面BCE.
∵AF⊂平面AFM，
∴AF∥平面BCE.

(2)证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.
又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
∵BG⊂平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE.
(3)在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连接BH，
∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE.
∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．
设AD＝DE＝2AB＝2a，则FH＝CFsin45°＝a，
BF＝＝＝2a，
在Rt△FHB中，sin∠FBH＝＝.
∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.
方法二：
设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．

∵F为CD的中点，∴F.
(1)证明：＝，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)，
∵＝(＋)，AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE.
(2)证明：∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)，
∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥.
∴⊥平面CDE，又AF∥平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE.
(3)设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，由n·＝0，n·＝0可得
x＋y＋z＝0,2x－z＝0，取n＝(1，－，2)．
又＝，设BF和平面BCE所成的角为θ，则
sinθ＝＝＝.
∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.