【北京特级教师-二轮复习精讲辅导】2021届高考理科数学-解析几何经典精讲(下)-课后练习.docx

解析几何经典精讲(下)课后练习
主讲老师：王老师 北京市重点中学数学特级老师
题一： 如图，椭圆C：＋ ＝1(a > b > 0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．

题二： 设椭圆C：＋ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2＋＝0.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程；
(3)在(2)的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M，N两点，点P(4,0)，求△PMN面积的最大值．

题三： 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．

题四： 如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F.
(1)若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；
(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴的交点，试推断AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．

题五： 设椭圆M： ＋ ＝1(a > )的右焦点为F1，直线l：x＝ 与x轴交于点A，若＋2＝0(其中O为坐标原点)．
(1)求椭圆M的方程；
(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2＋(y－2)2＝1的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求的最大值．
题六： 已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．

解析几何经典精讲(下)
课后练习参考答案
题一： (1) ＋ ＝1；(2)3x＋2y＋2－2＝0.
详解：(1)设椭圆左焦点为F(－c，0)，
则由题意得解得
所以椭圆的方程为 ＋ ＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.
当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，
由，消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， ①
则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12) > 0，
所以线段AB的中点为M .
由于M在直线OP：y＝ x上，所以 ＝ ，
得m＝0(舍去)或k＝－ .
此时方程①为3x2－3mx＋m2－3＝0，则Δ＝3(12－m2) > 0，
所以|AB|＝·|x1－x2|＝ ·，
设点P到直线AB的距离为d，则d＝ ＝ .
设△ABP的面积为S，则S＝ |AB|·d＝ ·，
其中m∈(－2，0)∪(0,2)．
令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－2，2]，
u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)(m－1－)(m－1＋)．
所以当且仅当m＝1－时，u(m)取到最大值．
故当且仅当m＝1－时，S取到最大值．
综上，所求直线l的方程为3x＋2y＋2－2＝0.
题二： (1) .(2) ＋ ＝1.(3) △PMN面积的最大值为 .
详解：(1)设Q(x0,0)．
由于F2(c,0)，A(0，b)，则＝(－c，b)，＝(x0，－b)，
又⊥，所以－cx0－b2＝0，
故x0＝－ ，又2＋＝0，
所以F1为F2Q的中点，故－2c＝－＋c，
即b2＝3c2＝a2－c2，所以e＝ ＝ .
(2)由于e＝ ＝ ，所以a＝2c，b＝c，则F2(c,0)，Q(－3c,0)，A(0，c)．
所以△AQF2的外接圆圆心为(－c,0)，半径r＝ |F2Q|＝2c＝a.
所以 ＝2c，解得c＝1，所以a＝2，b＝，
椭圆方程为＋ ＝1.
(3)设直线MN的方程为：x＝my＋1，代入＋ ＝1得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
设Mx1，y1)，N(x2，y2)，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，
|y1－y2|＝＝ .
所以S△PMN＝|PF2|·|y1－y2|＝ ，
令 ＝λ ≥ ，
所以S△PMN＝ ＝ ≤ ＝ ，
所以△PMN面积的最大值为，此时m＝0.
题三： (1) 抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2) y1＋y2＝－4. kAB＝－1(x1≠x2)．
详解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
由于点P(1,2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
则kPA＝ (x1 ≠ 1)，kPB＝ (x2 ≠ 1)，
由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1， ①
y＝4x2， ②
所以＝－，所以y1＋2＝－(y2＋2)．
所以y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
所以kAB＝ ＝ ＝－1(x1 ≠ x2)．
题四： (1) x±y－1＝0.(2) 直线AB与抛物线相切．
详解：(1) 抛物线的焦点F(1,0)，
当直线l的斜率不存在时，即x＝1不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
所以 ＝ ，解得k＝± .
故直线l的方程为：y＝± (x－1)，即x±y－1＝0.
(2)直线AB与抛物线相切，证明如下：
设A(x0，y0)，则y ＝4x0.
由于|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．
所以直线AB的方程为：y＝ (x＋x0)，
整理得：x＝ －x0， ①
把方程①代入y2＝4x得：y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，
Δ＝64x－16x0y＝64x－64x＝0，
所以直线AB与抛物线相切．
题五： (1) ＋ ＝1.(2) 11.
详解：(1)由题设知，A，F1(，0)，
由＋2＝0，得 ＝2，解得a2＝6.
所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2)设圆N：x2＋(y－2)2＝1的圆心为N，
则＝
＝
＝
＝.
从而将求的最大值转化为求的最大值．
由于P是椭圆M上的任意一点，设P(x0，y0)，
所以＋＝1，即x＝6－3y.
由于点N(0,2)，所以＝x＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12.
由于y0∈[－， ]，所以当y0＝－1时，取得最大值12.
所以的最大值为11.
题六： (1) ＋＝1.(2) y＝x或y＝－x.
详解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为 ＋ ＝1(a>2)，
其离心率为，故 ＝ 解得a＝4，
故椭圆C2的方程为＋ ＝1.
(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝ .
将y＝kx代入＋＝1中，得 (4＋k2)x2＝16，
所以x＝ .
又由＝2，得x＝4x，即 ＝ ，
解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以
x＝.由＝2，得x＝，y＝.
将x，y代入＋ ＝1中，得 ＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，　
解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.