1、
双基限时练(二十六)
1．已知下列四个等式：
①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；
③cos＝－sinα；
④tan(α－β)＝.
其中恒成立的等式有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析 ①，②，③对任意角α，β恒成立，④中的α，β还要使正切函数有意义．
答案 B
2.的值为( )
A. B. C．1 D．－
解析 原式＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.
答案 B
3．设tan(α＋β)＝，tan＝，则tan等于( )
A. B.
2、 C. D.
3．已知α，β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为( )
A. B. C. D.
答案 B
4．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于( )
A．2 B．1 C. D．4
解析 由于tan(α＋β)＝＝＝4，所以tanαtanβ＝.
答案 C
5．若0<α<，0<β<，且tanα＝，tanβ＝，则α＋β等于( )
A. B. C. D.
解析 由已知可求得tan(α＋β)＝1.
又0<α＋β<π，∴α＋β＝.
答案 B
6．已知tanα和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的
3、两个根，则a，b，c的关系是( )
A．b＝a＋c B．2b＝a＋c
C．c＝b＋a D．c＝ab
解析 由韦达定理可知tanα＋tan＝－且tanαtan＝，∴tan＝tan＝＝1.∴－＝1－.∴－b＝a－c.∴c＝a＋b.故选C.
答案 C
7．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)＝________.
解析 tan(α－β)＝＝＝.
答案
8.＝________.
解析 原式＝tan(51°－6°)＝tan45°＝1.
答案 1
9．已知α∈，sinα＝，则tan＝______.
解析 ∵<α<π，sinα＝，
∴cosα＝－，∴tanα＝－.
4、
∴tan＝＝＝.
答案
10．tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.
解析 由于tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)
＝tan45°(1＋tan67°tan22°)
＝1＋tan67°tan22°
所以tan67°－tan22°－tan67°tan22°
＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.
答案 1
11．求下列各式的值．
(1)tan；(2).
解 (1)tan＝tan
＝
＝＝2－.
(2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.
12．(
5、1)已知α＋β＝，求(1＋tanα)(1＋tanβ)．
(2)利用(1)的结论求(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·(1＋tan3°)·…·(1＋tan45°)的值．
解 (1)∵α＋β＝，∴tan(α＋β)＝1，
即＝1，
∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.
∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝(tanα＋tanβ)＋1＋tanαtanβ＝2.
(2)由(1)知当α＋β＝45°时，
(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.
∴原式＝(1＋tan1°)(1＋tan44°)(1＋tan2°)(1＋tan43°)…(1＋tan22°)(1＋tan23°)·(1＋tan45°)
＝222·2＝223.
13．已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
解 (1)tanα＝－，cosβ＝，β∈(0，π)，
∴sinβ＝，∴tanβ＝2.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
(2)∵tanα＝－， α∈(0，π)，
∴sinα＝，cosα＝－ .
∴f(x)＝(sinxcosα－cosxsinα)＋cosxcosβ－sinxsinβ
＝－sinx－cosx＋cosx－sinx
＝－sinx.
∴f(x)的最大值为.
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