2021人教A版高三数学(理)二轮复习-小题综合限时练4-Word版含解析.docx

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一、选择题
1．已知i为虚数单位，a∈R，若(a－1)(a＋1＋i)是纯虚数，则a的值为 (　　)．
A．－1或1 B．1
C．－1 D．3
解析　∵(a－1)(a＋1＋i)＝(a2－1)＋(a－1)i是纯虚数，∴a2－1＝0，且a－1≠0，∴a＝－1.
答案　C
2．若命题p：φ＝＋kπ，k∈Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的 (　　)．
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析　当φ＝＋kπ，k∈Z时，f(x)＝±cos ωx是偶函数，所以p是q的充分条件；若函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝＋kπ，k∈Z，所以p是q的必要条件，故p是q的充要条件．
答案　A
3．已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为 (　　)．
A．c2，而b＝－0.8＝20.8，所以12(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为 (　　)．
A．24 B．39
C．52 D．104
解析　∵3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，由等差数列的性质得6a4＋6a10＝48，∴a7＝4，∴数列{an}的前13项和为13a7＝52.
答案　C
5.执行如图的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为(　　)．

A．1 B．2
C．3 D．4
解析　此程序框图的算法功能是分段函数y＝的求值，当y＝3时，相应的x值分别为±2,8.
答案　C
6．登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对比表：
气温(℃)
18
13
10
－1
山高(km)
24
34
38
64
由表中数据，得到线性回归方程＝－2x＋(∈R)．由此估量山高为72(km)处气温的度数为 (　　)．
A．－10 B．－8
C．－6 D．－4
解析　∵＝10，＝40，∴样本中心点为(10,40)，∵回归直线过样本中心点，∴40＝－20＋，即＝60，∴线性回归方程为＝－2x＋60，∴山高为72(km)处气温的度数为－6.
答案　C
7．曲线f(x)＝ex(其中e为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线与直线y＝－x＋3和x轴所围成的区域为D(包含边界)，点P(x，y)为区域D内的动点，则z＝x－3y的最大值为 (　　)．
A．3 B．4
C．－1 D．2
解析　∵f′(x)＝ex，∴f′(0)＝1，∴曲线f(x)＝ex在点(0,1)处的切线方程为y＝x＋1，其与直线y＝－x＋3及x轴围成的平面区域如图阴影部分所示，当直线z＝x－3y过点A(3,0)时，目标函数z＝x－3y取得最大值3.

答案　A
8．三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为
(　　)．

A．2 B．4
C. D．16
解析　取AC的中点D，连接BD，SD，由正视图及侧视图得，BD⊥平面SAC，

SC⊥平面ABC，则∠SDB＝90°，且BD＝2，SD＝2，
∴SB＝4.
答案　B
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足csin A＝
acos C，则sin A＋sin B的最大值是 (　　)．
A．1 B．
C．3 D．
解析　∵csin A＝acos C∴sin Csin A＝sin Acos C，
∵sin A≠0，∴tan C＝，∵0＜C＜π，∴C＝，
∴sin A＋sin B＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＝sin，∵0＜A＜，∴＜A＋＜，∴＜sin≤，∴sin A＋sin B的最大值为.
答案　D
10．已知F1F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2.若线段MF1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为
(　　)．
A．4＋2 B．－1
C. D．＋1
解析　∵正三角形MF1F2的边长为2c，设MF1的中点为N，∴F2N⊥NF1，在Rt△NF1F2中，简洁求得，|NF2|＝c，|NF1|＝c，又N在双曲线上，∴|NF2|－|NF1|＝2a，∴2a＝c－c，∴e＝＝＝＋1.
答案　D
11．若k∈[－3,3]，则k的值使得过A(1,1)可以做两条直线与圆(x－k)2＋y2＝2相切的概率等于 (　　)．
A. B．
C. D．
解析　点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切，故需圆心与点A距离大于半径即可，即(1－k)2＋1＞2，解得k＜0或k＞2，所以所求k∈[－3,0)∪(2,3]，概率为P＝＝.
答案　C
12．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，下列关于函数f(x)的四个命题：
x
－1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1

①函数y＝f(x)是周期函数；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③假如当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1．其中真命题的个数是 (　　)．
A．4 B．3
C．2 D．1
解析　首先排解①，不能确定周期性，f(x)在[0,2]上时f′(x)<0，故②正确，当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，结合原函数的单调性知0≤t≤5，所以排解③；不能确定在x＝2时函数值和a的大小，故不能确定几个零点，故
④错误．
答案　D
二、填空题
13．已知a＝(1,2)，b＝(x,6)，且a∥b，则|a－b|＝________.
解析　∵a∥b，∴1×6－2x＝0，∴x＝3.
故|a－b|＝＝2.
答案　2
14.5开放式中的常数项为________．
解析　Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C(－2)rx10－5r，
令10－5r＝0得r＝2.所以常数项为T3＝C(－2)2＝40.
答案　40
15．在三棱锥P­ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥的外接球的表面积为________．
解析　∵侧棱PA，PB，PC两两垂直，∴三棱锥P­ABC的外接球就是以PC，PB，PA为长，宽，高的长方体的外接球，∵PA＝1，PB＝2，PC＝3，∴长方体的体对角线即外接球的直径为，∴此三棱锥的外接球的表面积为14π.
答案　14π
16．若实数a，b，c，d满足|b＋a2－3ln a|＋(c－d＋2)2＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为______．
解析　∵|b＋a2－3ln a|＋(c－d＋2)2＝0，∴(a－c)2＋(b－d)2表示两点(a，b)，(c，d)间距离的平方，将直线d＝c＋2平移到与曲线b＝
3ln a－a2相切，切点到直线d＝c＋2的距离即两点(a，b)，(c，d)间距离的最小值，由b′＝－2a＝1，得a＝1(a＝－舍去)，∴切点为(1，－1)，到直线d＝c＋2的距离为2，∴(a－c)2＋(b－d)2的最小值为8.
答案　8