高中数学(北师大版)选修1-2教案：第1章-例析回归分析思想.docx

例析回归分析思想
1、相关性检验
相关性检验是统计中的假设检验，依据公式计算r 的值。
当|r|越接近于1，相关程度越强；当|r|越接近于0，相关程度越弱，具体步骤：
（1）假设x与y不具有线性相关关系。
（2）依据小频率0.05查表得出r的一个临界值。
（3）依据公式计算出样本相关系数r的值。
（4）统计推断，若|r|＞，具有线性相关关系；若|r|≤，不具有线性相关关系。
2、线性回归分析
一般状况下，在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的状况下，应先进行相关性检验，在确认具有线性相关关系后，再求回归直线方程。回归分析的一般步骤为：
（1）从一组数据动身，求出两个变量的相关系数r ，确定二者之间是否具有线性相关关系。
（2）假如具有线性相关关系，求出回归方程，其中是常数项，是回归系数。
（3）依据回归方程，由一个变量的值，猜想或把握另一个变量的值。
下面通过例题加以分析：
例1、在10年期间，一城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系有如下数据：
第几年
1
2
3
4
5
城市居民年收入x（亿元）
32.2
31.1
32.9
35.8
37.1
某商品销售额y （万元）
25.0
30.0
34.0
37.0
39.0
第几年
6
7
8
9
10
城市居民年收入x（亿元）
38.0
39.0
43.0
44.6
46.0
某商品销售额y （万元）
41.0
42.0
44.0
48.0
51.0
（1）画出散点图；
（2）假如散点图中的各点大致分布在一条直线的四周，求y与x之间的回归直线方程。
解：（1）散点图如图所示：

（2）
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

32.2
31.1
32.9
35.8
37.1
38.0
39.0
43.0
44.6
46.0
y
25.0
30.0
34.0
37.0
39.0
41.0
42.0
44.0
48.0

51.0
xy
805
933
1118.6
1324.6
1446.9
1558
1638
1892
2140.8
2346

=14663.67，=15857，=15202.9
=。
查得，因r＞，说明该城市居民的年收入与该商品的销售额之间存在着显著的线性相关关系。
，
＝39.1－1.447×37.97－15.843，
因此所求的回归直线方程是＝1.447x－15.843。
评注：在我们解答具体问题时要进行相关性检验，通过检验确认两个变量具有线性相关关系后，再求其线性回归方程。
例2、测得10对父子身高（单位：英寸）如下：
父亲身高（x）　
60
62
64
65
66
67
68
70
72
74
儿子身高（y）
63.6
65.2
66
65.5
66.9
67.1
67.4
68.3
70.1
70

（1）对变量y与x进行相关性检验；
（2）假如y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）假如父亲的身高为73英寸，估量儿子的身高。
解：（1）=66.8，=67.01，=44794，=44941.93，4476.27，=4462.24，
≈4490.34， =44842.4。
所以，
＝
又查表得＝0.632。
由于r＞，所以y 与x之间具有线性相关关系。
（2）设回归直线方程为。
由，
≈67.01-0.4645×66.8≈35.98。
故所求的回归直线方程为y＝0.4645x＋35.98。
（3）当x＝73时地，y＝0.4645×73+35.98≈69.9，所以当父亲身高为73英寸时，估量儿子的身高约为69.9英寸。
评注：求回归直线方程，一般先要考查y与x是否具有线性相关关系，若具有这种关系，则这的回归曲线为直线。