2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第七章第7课时.docx

基础达标1. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是()A平行 B相交C异面垂直 D异面不垂直解析：选C建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，(1，0，2)，(2，0，1)，0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直2两个不同的平面，的法向量分别为m，n，向量a，b是平面及之外的两条不同的直线的方向向量，给出四个论断：ab；mn；ma；nB以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_解析：依题意，可得以下四个命题：(1)；(2)；(3)；(4).不难发觉，命题(3)，(4)为真命题，而命题(1)，(2)为假命题答案：或3已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，求点A1到平面AB1D1的距离解：如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(2，0，4)，A(2，0，0)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，(2，0，4)，(0，2，4)，(0，0，4)，设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z)，则即解得x2z且y2z，不妨设n(2，2，1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d，则d.4. 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的全部棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD证明：如图所示，取BC的中点O，连接AO.由于ABC为正三角形，所以AOBC由于在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，(1，2，)，(2，1，0)由于n，n，故令x1，则y2，z，故n(1，2，)为平面A1BD的一个法向量，而(1，2，)，所以n，所以n，故AB1平面A1BD5. 如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC证明：(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，E，F.，(0，0，1)，(0，2，0)，(1，0，0)，(1，0，0)，即EFAB又AB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB(2)(0，0，1)(1，0，0)0，(0，2，0)(1，0，0)0，即APDC，ADDC又APADA，DC平面PAD又DC平面PDC，平面PAD平面PDC力气提升1在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论解：(1)证明：如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0，0，0)、A(a，0，0)、B(a，a，0)、C(0，a，0)、E、P(0，0，a)、F.，(0，a，0)0，即EFCD(2)设G(x，0，z)，则，若使GF平面PCB，则由(a，0，0)a0，得x；由(0，a，a)a0，得z0.G点坐标为，即G点为AD的中点2. 如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1綊BC，二面角A1ABC是直二面角求证：(1)A1B1平面AA1C；(2)AB1平面A1C1C证明：二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形AA1平面BAC又ABAC，BCAB，CAB90，即CAAB，AB，AC，AA1两两相互垂直建立如图所示的空间直角坐标系，设AB2，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2)(1)(0，2，0)，(0，0，2)，(2，0，0)，设平面AA1C的一个法向量n(x，y，z)，则即即取y1，则n(0，1，0)2n，即n.A1B1平面AA1C(2)易知(0，2，2)，(1，1，0)，(2，0，2)，设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)，则则令x11，则y11，z11，即m(1，1，1)m012(1)210，m.又AB1平面A1C1C，AB1平面A1C1C3. 如图，四棱锥SABCD中，ABCD为矩形，SDAD，且SDAB，ADa(a0)，AB2AD，SDAD，E为CD上一点，且CE3DE.(1)求证：AE平面SBD；(2)M，N分别为线段SB，CD上的点，是否存在M，N，使MNCD且MNSB，若存在，确定M，N的位置；若不存在，说明理由解：(1)证明：由于四棱锥SABCD中，ABCD为矩形，SDAD，且SDAB，ADABA，所以SD平面ABCDBD就是SB在平面ABCD上的射影由于AB2AD，E为CD上一点，且CE3DE.tanDAE，tanDBA，DAEDBA，DAEBDA90.AEBD，AESBSBBDB，AE平面SBD(2)假设存在点M，N满足MNCD且MNSB建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，D(0，0，0)，A(a，0，0)，C(0，2a，0)，B(a，2a，0)，S(0，0，a)，设t(a，2a，0)t(a，2a，a)(ata，2a2ta，ta)(t0，1)，即M(ata，2a2ta，ta)，N(0，y，0)，y0，2a，(ata，2a2tay，ta)使MNCD且MNSB，则可得t0，1，ya0，2a故存在点M，N使MNCD且MNSB，M(a，a，a)，N(0，a，0)