2022届高考数学文科一轮复习课时作业-2-3函数的奇偶性与周期性-.docx

第三节　函数的奇偶性与周期性

题号
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答案

1．(2021·广东卷)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：四个函数中，y＝x3和y＝2sin x是奇函数．故选C.
答案：C
2．(2021·山东滨州一模)函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是(　　)

解析：函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y轴对称，排解B，C当x→π时，y＝→0，故选A.
答案：A
3．(2021·辽宁辽源模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)等于(　　)
A．2 B. C. D．a2
解析：将f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2中的x用－x代替得f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2，由函数的奇偶性可得－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，将两式相加和相减可得g(x)＝2，f(x)＝ax－a－x，由于g(2)＝a，所以a＝2，则有f(2)＝22－2－2＝.
答案：C
4．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)
A.　 B.　 C. D．1
解析：方法一　由已知得，f(x)的定义域关于原点对称，由于该函数定义域为，∴a＝.故选A.
方法二　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
又f(x)＝，则＝在函数的定义域内恒成立，可得a＝.故选A.
答案：A
5．已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)，g(x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)，则(　　)
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
解析：两个函数的定义域均为(－1，1)，则f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数；又g(－x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，故选D.
答案：D
6. (2021·浙江重点中学协作体摸底测试)函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点确定在函数f(x)图象上的是(　　)
A．(－a，－f(a))　 B．(a，f(－a))
C．(a，－f(a)) D．(－a，－f(－a))
解析：函数的定义域为R，且满足f(x)＝f(－x)，
∴f(x)为偶函数．
∴f(a)＝f(－a)．而点(a，f(a))在函数图象上，
∴(a，f(－a))也在函数图象上．故选B.
答案：B
7. (2022·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)
A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}
C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}
解析：设x＜0，则－x＞0.所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x.求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解，当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x＜0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－，故选D.
答案：D
点评：求函数的零点等价于求方程的根，等价于求两个函数图象的交点的横坐标，此题还可以通过画图求解．留意“零点”不是“点”，是一个数值．
8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．
解析：由已知等式得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(6)＝f(2)，由f(x＋2)＝－f(x)得f(2)＝－f(0)，由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(6)＝0.
答案：0
9．函数f(x)对于任意实数x满足条件 f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝__________________
解析：由f(x＋2)＝，得f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的函数，f(5)＝f(1)＝－5，f(－5)＝f(－1)＝＝＝－.
答案：－
10．设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2 015)＝，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(2 015)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)<－1，
∴<－1，解得－1＝1，f(－1)＝1－m，又∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．∴1－m＝－1.∴m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
∴1＜a≤3.故实数a的取值范围是(1，3]．
12．(2021·四川泸州模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围图形的面积．
解析：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数，从而得
f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4.