高中数学(北师大版)必修四教案：1.2-角的概念的推广-参考教案.docx

§2 角的概念的推广
一、教学目标
1、学问与技能：
（1）推广角的概念，理解并把握正角、负角、零角的定义；
（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；
（3）理解任意角的概念，把握全部与角终边相同的角（包括角）的表示方法；
（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；
（5）能进行简洁的角的集合之间运算。
2、过程与方法：
类比学校所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探究具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观：
通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的生疏；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点生疏事物；揭示学问背景，引发同学学习爱好；创设问题情景，激发同学分析、探求的学习态度；让同学感受图形的对称美、运动美，培育同学对美的追求。
二、教学重、难点
重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，把握终边相同角的表示法及推断。
难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教法
在学校，我们知道最大的角是周角最小的角是零角；通过回忆和类比学校所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转把握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。教法: 类比探究沟通法。
四、教学过程
（一）、创设情境，揭示课题
同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同学们有没有留意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，老师把握好时间，2-3分钟为宜。
这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。
学校我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？
我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。
（二）、探究新知
假如我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给同学演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好预备)
1、正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)．
我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。一条射线由原来的位置OA，围着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角.旋转开头时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；假如一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角，假如α是零角，那么α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以记成“α”。
过去我们争辩了0°～360°范围的角．如图（见课件）中的角α就是一个0°～360°范围内的角(α＝30°)．假如我们将角α的终边OB连续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角是多少度?是不是仍为30°的角?(用多媒体演示这一旋转过程，让同学思考；为终边相同角概念做预备)．将终边OB旋转一周、两周……，分别得到390°，750°……的角．假如将OB连续旋转下去，便可得到任意大小的正角。同样地，假如将OB按顺时针方向旋转，也可得到任意大小的负角(通过课件，动态演示这一无限旋转过程)．这就是说，角度并不局限于0°～360°的范围，它可以为任意大小的角(与数轴进行比较)．(打开课件第三版)．如图(1)中的角为正角，它等于750°；(2)中，正角α＝210°，负角β＝—150°，γ＝－660°．在生活中，我们也经常会遇到不在0°～360°范围的角，如在体操中，有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1080°”(即“转体3周”)这样的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转而形成的角．
角的概念经过这样的推广以后，就包括正角、负角和零角．
2．象限角、坐标轴上的角的概念．
由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内争辩角，(板书)我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(打开课件第四版)例如图(1)中的30°、390°、－330°角都是第一象限角，图(2)中的300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角．
(板书)假如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．
3．终边相同的表示方法．
(返回课件其次版，在图(1)1(2)中分别以O为原点，直线0A为x轴建立直角坐标系，重新演示前面的旋转过程)在图(1)中，假如将终边OB按逆时针方向旋转一圈、两圈……，分别得到390°，750°……的角，这些角的终边与30°角的终边相同，只是转过的圈数不同，它们可以用30°角来表示，如390°＝30°十360°，750°＝30°十2×360°，……在图(2)中，假如将终边OB按顺时针方向旋转一圈、两圈……分别得到－330°，－690°……的角，这些角的终边与30°角终边也相同，也只是转过的圈数不同，它们也都可以用30°的角来表示，如－330°＝30°－360°，－690°＝30°—2×360°，……
由此可以发觉，上面旋转所得到的全部的角(记为β)，都可以表示成一个0°到360°的角与k(k∈Z)个周角的和，即：β＝30°十k·360°(k∈Z)．假如我们把β的集合记为S，那么S＝{β|β＝30°十k·360°， k∈Z}．简洁看出：全部与30°角终边相同的角，连同30°角(k＝0)在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素明显与30°角终边相同。
（三）、巩固深化，进展思维
1、例题讲评
例1.推断下列各角是第几象限角.
(1)—60°； (2)585°； (3)—950°12’．
解：(1)∵—60°角终边在第四象限，∴它是第四象限角；(2)∵585°＝360°十225°，∴585°与225°终边相同，又∵225°终边在第三象限，∴585°是第三象限角；(3)∵ —950°12’＝－230°12’—2×360°，又∵－230°12’终边在其次象限，∴—950°12’是其次象限角.
例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.
解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角，因此，全部与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}；全部与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}；所以，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}.
例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元素β写出来.
解：S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β＜270°的元素是：
60°－1×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.
2．同学课堂练习：参考练习 (通过多媒体给题)。
(1) (口答)锐角是第几象限角?第一象限角肯定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
(2)与—496°终边相同的角是 ，它是第 象限的角，它们中最小正角是 ，最大负角是 。
(3)时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。
(4)若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是 ；若α与β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是 ；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是 ；若角α是其次象限角，则180°—α是第 象限角。
[答案](1)是，不肯定.(2)—496°十k·360°(k∈Z)，三，240°，—136°.(3)—100°，—1200°．(4)α十β＝k·360°(k∈Z)；α十β＝180°十k·360。(k∈Z)；α一β＝180°十k·360°(k∈Z)；一.
（四）、归纳整理，整体生疏
(1) 请同学回顾本节课所学过的学问内容有哪些？你知道角是如何推广的吗?
(2) 象限角是如何定义的呢? 你娴熟把握具有相同终边角的表示了吗?
（3）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（4）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
（五）、布置作业: 习题1—2第2,3题．
五、教后反思：