2022届高三数学一轮总复习基础练习：选修4选4-1-1-.docx

选修4—1　几何证明选讲
第一节　相像三角形的判定及有关性质
时间：45分钟　分值：100分
一、填空题

1．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，ADAB＝13.若DE＝2，则BC＝__________.
解析　∵DE∥BC，
∴＝，即＝.解得BC＝6.
答案　6

2．如图所示，已知DE∥BC，BFEF＝32，则ACAE＝________，ADDB＝________.
解析　∵DE∥BC，
∴＝＝.
∵BFEF＝32，∴＝＝.
∴ACAE＝32.
同理DE∥BC，得ABAD＝32，即＝
∴＝，则＝＝2.
即＝2.∴ADBD＝21.
答案　32　21

3．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.
解析　连接DE和BD，依题知，EB∥DC，EB＝DC＝，
∴EBCD为平行四边形，∵CB⊥AB，
∴DE⊥AB，又E是AB的中点，故AD＝DB＝a.
∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF＝DB＝a.
答案　

4．(2021·湖南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AEBE＝12，若△AEF的面积等于1 cm2，则△CDF的面积等于_______ cm2.
解析　∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，又＝＝，且相像三角形的面积之比等于对应边的比的平方，
∴△CDF的面积等于9 cm2.
答案　9

5．如图，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．
解析　∵M，N分别是AB、BC中点，故MN綊AC，∴△MON∽△COA，∴＝2＝.
答案　14

6．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.
解析　由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴＝.
又AC＝4，AD＝12，AB＝6，∴AE＝＝＝2.
答案　2
7．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，则AD＝________.

解析　如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
设AD＝x，∵CD⊥AB于D，
∴由射影定理得CD2＝AD·DB，
即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9.
答案　9

8．(2021·茂名模拟)如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________.
解析　∵AB∥CD∥EF，
∴＝，＝，
∴＝，＝，∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF，∴＝4＝，∴EF＝3.
答案　3

9．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
解析　tan∠BCA＝＝，所以∠BCA＝30°，∠ECD＝90°－∠BCA＝60°.在Rt△BCE中，CE＝BC·cos∠BCA＝3cos30°＝.在△ECD中，由余弦定理得ED＝
＝ ＝.
答案　
二、解答题

10．如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，
证明：(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE·CD.
证明　(1)由于＝，所以∠ABC＝∠BCD.
又由于EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，
所以∠ACE＝∠BCD.
(2)由于∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，
所以△BDC∽△ECB，故＝，
即BC2＝BE·CD.

11．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.
证明：(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD·BC.
证明　(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB.
从而∠EAB＋∠EBF＝；
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝.
从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边．
得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
同理可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，
所以EF2＝AD·BC.
12．已知在△ABC中，点D在BC边上，过点C任作始终线与边AB与AD分别交于点F，E.

(1)如图(1)，DG∥CF交AB于点G，当D是BC的中点时，求证：＝；
(2)如图(2)，当＝时，求证：＝.
证明　(1)∵DG∥CF，BD＝DC，
∴BG＝FG＝BF.
∵FE∥DG，∴＝.∴＝＝.
(2)过点D作DG∥CF交AB于G点，
∴＝.
又＝，∴DC＝2BD＝BC.
∵DG∥FC，∴＝＝.
∴FG＝BF，∴＝＝.