2021高考数学专题辅导与训练配套练习：专题三-三角函数及解三角形.docx

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专题提升练(二)
(专题三)
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2022·台州模拟)已知=(1,0),点P从(1,0)动身,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达Q点,则=　(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.设∠POQ=α,由三角函数定义可知,Q点的坐标(x,y)满足x=
cosα,y=sinα,所以x=-,y=,则=.
2.(2022·绍兴模拟)点P(sin2022°,cos2022°)在角α的终边上,则角α的终边位于　(　　)
A.第一象限 B.其次象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.由于2022°=360°×5+214°,所以2022°是第三象限角,所以sin2022°<0,cos2022°<0,则点P在第三象限,角α终边在第三象限.
3.已知sin(π-α)=log8,且α∈,则tan(2π-α)的值为　(　　)
A.- B. C.± D.
【解析】选B.sin(π-α)=log8=-,且α∈,
所以sinα=-,则cosα==,故tan(2π-α)=-tanα=-=.
4.(2022·嘉兴模拟)已知函数f(x)=sin,将其图象向右平移,则所得图象的一条对称轴是　(　　)
A.x=　　 B.x=　　 C.x=　　 D.x=
【解析】选C.f(x)=sin向右平移,得
f(x)=sin=sin,则对称轴为2x-=kπ+,
所以x=+(k∈Z).
当k=0时,x=.
5.已知函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则　(　　)

A.ω=1,φ=
B.ω=1,φ=-
C.ω=2,φ=
D.ω=2,φ=-
【解析】选D.由于=-=,
所以T=π,所以ω=2,
又×2+φ=,所以φ=-.
6.(2022·温州模拟)已知函数f(x)=,则有　(　　)
A.函数f(x)的图象关于直线x=对称
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.函数f(x)的最小正周期为
D.函数f(x)在区间(0,π)内单调递减
【解析】选B.由于f(x)==-=-tanx,所以f(x)的最小正周期为π,故A,C不正确,且在上单调递减,但在(0,π)上不存在单调性,故D不正确,由于f(x)=-tanx的对称中心为(k∈Z),故是一个对称中心,故B正确.
7.(2022·杭州模拟)函数f(x)=sinx+cos的值域为　(　　)
A.[-2,2] B.[-,]
C.[-1,1] D.
【解析】选C.函数f(x)=sinx+cos=sinx+cosx-sinx=cos,由于cos∈[-1,1],所以函数的值域为[-1,1].
8.在△ABC中,若3cos2+5sin2=4,则tanA·tanB=　(　　)
A.4 B. C.-4 D.-
【解析】选B.在△ABC中,由于3cos2+5sin2=4,所以3×+5×=4,即cos(A-B)-cos(A+B)=0,
即3(cosAcosB+sinAsinB)=5(cosAcosB-sinAsinB),
即2cosAcosB=8sinAsinB所以tanA·tanB=.
9.(2021·湖南高考)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.在△ABC中,a=2RsinA,b=2RsinB,C=2RsinC(R为△ABC的外接圆半径),由于2asinB=b,
所以2sinAsinB=sinB,所以sinA=,
又△ABC为锐角三角形,所以A=.
10.一个大型喷水池的中心有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是
　(　　)
A.50m B.100m C.120m D.150m
【解析】选A.设水柱高度是hm,水柱底端为C,则在△ABC中,A=60°,
AC=h,AB=100,BC=h,由余弦定理得(h)2=h2+1002-200h·cos60°,
即(h-50)(h+100)=0,所以h=50,故水柱的高度为50m.
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.请把正确答案填在题中横线上)
11.(2022·绍兴模拟)已知cosθ=,则cos2θ=　　　　.
【解析】由于cosθ=,所以cos2θ=2cos2θ-1=2×-1=-.
答案:-
12.(2022·湖州模拟)已知sinθ+cosθ=0<θ<,则sinθ-cosθ的值为　　　　.
【解析】由于0<θ<,所以cosθ>sinθ,
又因sinθ+cosθ=,
所以sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=,
所以2sinθcosθ=,
(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1-=,
所以sinθ-cosθ=-.
答案:-
13.假如函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期为T,且当x=2时取得最大值,那么T=　　　　　,θ=　　　　　.
【解析】T==2,由于f(2)=sin(2π+θ)=sinθ=1,
又0<θ<2π,所以θ=.
答案:2　
14.(2022·台州模拟)已知f(x)=cos(2x+φ),其中φ∈[0,2π),若f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则φ=　　　　　.
【解析】由题意知,当x=时,f(x)取最小值,
所以2×+φ=π+2kπ,k∈Z,
所以φ=+2kπ,k∈Z,
又0≤φ<2π,所以φ=.
答案:φ=
15.已知关于x的方程sin=k在[0,π]上有两解,则实数k的取值范围是　　　　　.
【解析】在同一坐标系内作y1=sin,x∈[0,π]与y2=k的图象(如图).

由图象可知,当1≤k<时,直线y2=k与曲线y1=sin(0≤x≤π)有两个公共点,即1≤k<时,原方程有两解.
答案:[1,)
16.已知△ABC的三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为　　　　　.
【解析】设△ABC的三边a,b,c成公比为的等比数列,所以b=a,c=2a,
则cosC===-.
答案:-
17.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小是　　　　　.

【解析】依据题意,得AD=20m,AC=30m,
在△ACD中,CD=50m,
由余弦定理cos∠CAD===.
又0°<∠CAD<180°,
所以∠CAD=45°,即张角为45°.
答案:45°
三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(14分)已知函数f(x)=.
(1)求函数y=f(x)的定义域.
(2)设tanα=-,求f(α)的值.
【解析】(1)由cosx≠0,得x≠+kπ,k∈Z,
所以函数的定义域是.
(2)由于tanα=-,
所以f(α)=
==
=-1-tanα=.
19.(14分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的表达式.
(2)若f=,求tanα的值.
【解析】(1)依题意:A=1,最小正周期T满足=-=.
所以T=π.所以=π,所以ω=2.
所以f=sin=1且|φ|<.
所以φ=.所以f(x)=sin.
(2)f=sin
=cos2α=1-2sin2α=.
所以sin2α=.由于α∈,所以sinα=.
所以cosα==,所以tanα==.
20.(14分)已知函数f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π),且函数y=f的图象关于直线x=对称.
(1)求φ的值.
(2)若f=,求sin2α的值.
【解析】(1)由于f(x)=sin(x+φ),
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
由于函数y=f=sin,
y=sinx的图象的对称轴为x=kπ+(k∈Z),
令2x++φ=kπ+(k∈Z),
将x=代入,得φ=kπ-(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=.
(2)由f=得sin=,
即sin=sin
=(sinα+cosα)=,
所以sinα+cosα=,1+sin2α=,
即sin2α=-.
21.(15分)(2022·浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.
(1)求角C的大小.
(2)若sinA=,求△ABC的面积.
【解析】(1)由题意得,-
=sin2A-sin2B,
所以sin2A-cos2A
=sin2B-cos2B,
即sin=sin2B-.
由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得
+=π,
所以A+B=,即C=.
(2)由c=,sinA=,
=,得a=,
由a解析】(1)由于A,B,C成等差数列,
所以2B=A+C,又A+B+C=π,
所以B=,即A+C=.
由于f(x)=2sin2x+2sinxcosx-
=(2sin2x-1)+sin2x=sin2x-cos2x
=2sin,
所以T==π.
又由于sin∈[-1,1].
所以f(x)的值域为[-2,2].
(2)由于f(x)在x=A处取得最大值,
所以sin=1.
由于0