2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第9章-第1讲--直线方程和两直线的位置关系.docx

第九章 解析几何
第1讲 直线方程和两直线的位置关系
一、选择题
1．已知直线l的倾斜角α满足条件sinα＋cosα＝，则l的斜率为(　　)
A. B. C．－ D．－
解析 α必为钝角，且sinα的确定值大，故选C.
答案　C
2．经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝(　　)．
A．－1 B．－3 C．0 D．2
解析　由＝＝y＋2，
得：y＋2＝tan ＝－1.∴y＝－3.
答案　B
3．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 (　　)．
A. B.
C. D.
解析　如图，直线l：y＝kx－，过定点P(0，－)，又A(3,0)，∴kPA＝，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是.
答案　B
4．过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　)．
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
解析　由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.
答案　A
5．设直线l的方程为x＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是(　　)．
A．[0，π) B.
C. D.∪
解析　(直接法或筛选法)当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为；
当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－.
∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，
∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
又α∈[0，π)，∴α∈∪.
综上知，倾斜角的范围是.
答案　C
6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝ (　　)．
A．4 B．6 C. D.
解析　由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是
解得故m＋n＝.
答案　C
二、填空题
7．若A(－2,3)，B(3，－2)，C(，m)三点共线，则m的值为________．
解析 由kAB＝kBC，即＝，得m＝.
答案
8．直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是_．
解析 设直线方程为为－＝1或y＝kx的形式后，代入点的坐标求得a＝5和k＝－.
答案 y＝－x或－＝1　
9．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.
解析　由两直线垂直的条件得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝.
答案　
10．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．
解析　由题意得，＝≠，∴a＝－4且c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，
由两平行线间的距离，得＝，
解得c＝2或c＝－6，所以＝±1.
答案　±1
三、解答题
11．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
解　存在．理由如下．
设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，
△ AOB的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
12．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
解　(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∴＝3.解得λ＝2或λ＝.
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得交点P(2,1)，
如图，过P作任始终线l，设d为点A到l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
∴dmax＝|PA|＝.

13．已知直线l过点P(2,3)，且被两条平行直线l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的线段长为d.
(1)求d的最小值；
(2)当直线l与x轴平行，试求d的值．
解　(1)由于3×2＋4×3－7>03×2＋4×3＋8>0，所以点P在两条平行直线l1，l2外．
过P点作直线l，使l⊥l1，则l⊥l2，设垂足分别为G，H，则|GH|就是所求的d的最小值．由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|GH|＝＝3.
(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y＝3，设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1,3)，B(x2,3)，则3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5.
14．已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程．
解　法一　由于l1∥l，所以l2∥l，
设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．
直线l1，l2关于直线l对称，
所以l1与l，l2与l间的距离相等．
由两平行直线间的距离公式得＝，
解得m＝－5或m＝3(舍去)．
所以直线l2的方程为x－y－5＝0.
法二　由题意知l1∥l2，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．
在直线l1上取点M(0,3)，
设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)，
于是有解得即M′(4，－1)．
把点M′(4，－1)代入l2的方程，得m＝－5，
所以直线l2的方程为x－y－5＝0.