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近世代数知识点

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近世代数知识点
第一章 基本概念
1.1 集合
l A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.

1.2 映射
l 证明映射：
l 单射：元不同，像不同；或者 像相同，元相同。
l 满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark： 映射满足结合律！

1.3 卡氏积与代数运算
l {（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.
l 集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

1.4 等价关系与集合的分类
★ 等价关系：1 自反性：∀a∈A,aa;
2 对称性：∀a,b∈R, ab=>ba∈R;
3 传递性：∀a,b,c∈R,ab,bc =>ac∈R.
Remark：对称+传递≠自反
★ 一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系
★ 不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。

第二章 群
2.1 半群
1. 半群=代数运算+结合律，记作（S,）
Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即ab=ba,则称为交换半群。

2. 单位元
i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii. 单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii. 在有单位元的半群中，规定a0=e.

3. 逆元
i. 在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii. 逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
iii. 若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。

4. 子半群
i. 设S是半群，≠TS,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群
ii. T是S的子半群a,bT,有abT

2.2 群
1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元
Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.
ii. 加群=代数运算为加法+交换群
iii.单位根群Um={ m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).

2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元
=代数运算+结合律+单位元+逆元
=代数运算+结合律+∀a,bG,ax=b,ya=b有解

3. 群的性质
i. 群满足左右消去律
ii.设G是群，则∀a,bG,ax=b,ya=b在G中有唯一解
iii. e是G单位元⇔ e2=e
iv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群

4. 群的阶
群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。若为无限群，则=。
Remark：i.克莱因四元群是一个Abel群
ii.四阶群只有克莱因四元群和模4的剩余类群

2.3元素的阶
1. 定义：设G是一个群，aG,使得am=e成立的最小正整数m称为元素a的阶，记作=m;若m不存在，则

2. 阶的性质
①G是一个群，aG,=m,
i. an=emn;
ii. ah=akm;
iii. e=a0,a1,a2,……am-1两两不同；
iv. ★∀rZ,ar=
Remark: i. ∀rZ,ar=m(m,r)=1;
ii.若m=st,s,tN,则as=t.
②，
i. an=en=0;
ii. ah=ak;
iii. ……a-2,a-1,a0,a1,a2……两两不等
iv. ∀rZ\{0},ar=.
Remark:a<,b<,ab<？……

l 定理：有限群中的元素的阶均有限。
Remark：定理的逆不成立，即群中所有的元素的阶都有限，但群不一定是有限群，例如n次单位根群。单位根群是一个无限交换群。

3. ★★循环群
定义：设G是群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，a为该循环群的生成元。记G=(a).
Remark:生成元不一定唯一，例如（Z,+）,1，-1都是生成元。

l 定理：设G=（a）是一个循环群，
（1） 若,则G是含m个元素的有限群，且G={a0,a1,a2……am-1}；
（2） 若，则G是无限群，且G={……a-2,a-1,a0,a1,a2……}.

l 定理：设G=（a）是一个循环群，
（1） 若,则G有(m)个生成元：ar ,(r,m)=1
（2） 若，则G有两个生成元：a,a-1
（3） 若,ar是G的生成元ar=m;
（4） 设p是素数，则P阶循环群G=(a)有p-1个生成元：a,a2……ap-1
Remark：(m)表示小于m，且与m互素的非负整数的个数
素数阶群一定是循环群。

l ★定理：设G是m阶群,则 G是循环群G有m阶元
2.4 子群
定义：设G是半群，≠HG,若H对G的运算构成群，则称H是G的子群，记为HG.
1. 子群的性质
（1） 传递性：HK，KG，则HG;
（2） 保单位元：设HG，aH,则eH=eG;
（3） 保逆元：设HG，aH,则a-1H=a-1G.

★定理：设G是半群，≠HG, HG∀a,bH,有ab,a-1H∀a,bH,ab-1H
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