江苏省苏州市届高三期中试卷教案资料.doc

江苏省苏州市2017届高三期中试卷

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2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷
数 学 2016．11
注意事项：
1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．
2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效．
3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置)
1．已知集合，，则 ▲ ．
2．若命题，则： ▲ ．
3．函数的定义域为 ▲ ．
4．曲线在点处的切线的斜率为 ▲ ．
5．已知，则 ▲ ．
6．已知等比数列的各项均为正数，且满足：，则数列的前9项之和为 ▲ ．
7．已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 ▲ ．
8．在中，角所对的边分别为，若，，则
▲ ．
9．已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
10．若函数，则函数y的最小值为 ▲ ．
11．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则的最小值等于 ▲ ．
12．已知数列满足：，数列满足：，则数列的前10项的和 ▲ ．
13．设的三个内角A,B,C所对应的边为a,b,c，若A,B,C依次成等差数列且，则实数k的取值范围是 ▲ ．
14．已知函数，若对于定义域内的任意，总存在使得，则满足条件的实数a的取值范围是 ▲ ．
二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本题满分14分)
已知函数
（1）若为奇函数，求的值和此时不等式的解集；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

16．(本题满分14分)
已知等比数列的公比，且满足：，且是的等差中项．
（1）求数列的通项公式
（2）若，，求使成立的正整数n的最小值．

17．(本题满分15分)
已知函数．
（1）若，求函数的值域；
（2）设的三个内角所对的边分别为，若A为锐角且，，，求的值．

18．(本题满分15分)
如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量百米，百米，，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），EF将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设百米，百米．
（1）当点F与点D重合时，试确定点E的位置；
（2）试求x的值，使路EF的长度y最短．

19． (本题满分16分)
已知数列的前项和为，对任意满足，且，数列满足，，其前9项和为63．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前n项和为，若对任意正整数n，都有，求实数的取值范围；
（3）将数列的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和．

20． (本题满分16分)
已知，定义．
（1）求函数的极值；
（2）若，且存在使，求实数a的取值范围；
（3）若，试讨论函数的零点个数．

2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷
数 学 (附加) 2016．11

B．(矩阵与变换)（本小题满分10分）
已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M将点变换为．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线在M的作用下的新曲线方程．

C．(极坐标与参数方程)（本小题满分10分）
已知平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求圆C的圆心的极坐标；
（2）当圆C与直线l有公共点时，求r的取值范围．

22．(本小题满分10分)
某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A、B、C三个测试项目．假定张某通过项目A的概率为，通过项目B、C的概率均为a，且这三个测试项目能否通过相互独立．
（1）用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的概率分布和数学期望（用a表示）；
（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a的取值范围．

23．(本小题满分10分)
在如图所示的四棱锥中，底面，，，，E为线段BS上的一个动点．
（1）证明：DE和SC不可能垂直；
（2）当点E为线段BS的三等分点（靠近B）时，求二面角的余弦值．

2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷
数 学 参 考 答 案
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1． 2． 3． 4．2
5．7 6．9 7． 　 8． 9．
10．2 11．3 12． 13． 14．
二、解答题(本大题共6个小题，共90分)
15．(本题满分14分)
解：（1）函数的定义域为R．
∵为奇函数，∴对恒成立，
即对恒成立，
∴．　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．3分
此时即，
解得， ．．．．．．．．．．6分
∴解集为． ．．．．．．．．．．7分
（2）由得，即，
令，原问题等价于对恒成立，
亦即对恒成立， ．．．．．．．．．．．10分
令，
∵在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，有最小值，∴． ．．．．．．．．．14分
16．(本题满分14分)
解：（1）∵是的等差中项，∴， ．．．．．．．．1分
代入，可得，
∴，∴，解之得或， ．．．．．．．4分
∵，∴，∴数列的通项公式为．　　．．．．．．．．．．6分
（2）∵， ．．．．．．．．．．7分
∴， ……①
， ……②
②-①得
． ．．．．．．．．．．12分
∵，∴，∴，， ．．．．．．．．．13分
∴使成立的正整数的最小值为6． ．．．．．．．．．．14分
17．(本题满分15分)
解：（1）
． ．．．．．．．．2分
由得，，，．．．．．．．4分
∴，即函数的值域为． ．．．6分
（2）由得，
又由，∴，∴，． ．．．．．8分
在中，由余弦定理，得．．．．．．．10分
由正弦定理，得， ．．．．．．12分
∵，∴，∴，
∴ ．．．．．15分
18．(本题满分15分)
解：（1）平行四边形ABCD的面积为，
当点F与点D重合时，，
∵，∴，（百米），∴E是BC的中点． ．．．．3分
（2）①当点F在CD上时，
∵，∴， ．．．．．．．．4分
在三角形CDE中，，
∴，当且仅当时取等号，
此时E在BC中点处且F与D重合，符合题意； ．．．．．．．．．．．．．．8分
②当点F在DA上时，
∵，∴， ．．．．．．．．．．9分
Ⅰ．当时，过E作EG∥CD交DA于G，
在中，，由余弦定理得；
Ⅱ．当，过E作EG∥CD交DA于G，
在中，，由余弦定理得；
由Ⅰ、Ⅱ可得， ．．．．．．．．．．．．13分
∴当时，，
此时E在BC的八等分点（靠近C）处且（百米），符合题意； ．．．．14分
∴由①②可知，当（百米）时，路EF最短为（百米） ． ．．．．15分
19．(本题满分16分)
解：（1）∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，
∴，即，
∴，
又，∴．　　　 ．．．．．．．．．．．．．3分
∵，∴ 数列是等差数列，
设的前n项和为，∵且，
∴，∴的公差为，． ．．．．．．5分
（2）由（1）知，
∴
，
∴． ．．．．．．．．．．．．7分
设，则，
∴数列为递增数列， ．．．．．．．．．．．．．9分
∴，
∵对任意正整数n，都有恒成立，∴． ．．．．．．．．．．10分
（3）数列的前项和，数列的前项和．
①当时，；
②当时，
，
特别地，当时，也符合上式；
③当时，．
综上：，． ．．．．．．．．．．．16分
20．(本题满分16分)
解：（1）∵函数，
∴． ．．．．．．．．．．1分
令,得或，∵，∴，列表如下：

0

+

-

+

↗
极大值
↘
极小值
↗
∴的极大值为，极小值为． ．．．．．．．3分
（2），∵存在使，
∴在上有解，即在上有解，
即不等式在上有解， ．．．．．．．．．．．．．4分
设，∵对恒成立，
∴在上单调递减，∴当时，的最大值为4，
∴，即． ．．．．．．．．．7分
（3）由（1）知，在上的最小值为，
①当，即时，在上恒成立，
∴在上无零点． ．．．．．．．．．8分
②当，即时，，又，
∴在上有一个零点． ．．．．．．．．．9分
③当，即时，设，
∵，∴在上单调递减，
又，∴存在唯一的，使得．
Ⅰ．当时，
∵，∴且为减函数，
又，∴在上有一个零点；
Ⅱ．当时，
∵，∴且为增函数，
∵，∴在上有一个零点；
从而在上有两个零点． ．．．．．．．．．15分
综上所述，当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，有无零点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．16分

21．选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．(几何证明选讲，本小题满分10分)
证明：连接，∵为圆的直径，∴，
又，则四点共圆，
∴．　 ．．．．．．．．．．．．．5分
又∽，
∴，即，
∴． ．．．．．10分
B．(矩阵与变换，本小题满分10分)
解:（1）设，由及，
得，解得，∴． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）设原曲线上任一点在M作用下对应点，
则，即，解之得，
代入得，
即曲线在M的作用下的新曲线方程为． ．．．．．．10分
C．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)
解：（1）由得，
∴曲线C是以为圆心，为半径的圆，
∴圆心的极坐标为．　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．5分
（2）由得，
从而圆心到直线l的距离为，
∵圆C与直线l有公共点，∴，即．　 ．．．．．．．．．．10分
D．(不等式选讲，本小题满分10分)
证明：∵

， ．．．．．．．．．．．．5分
又，
∴． ．．．．．．．．．．．．10分
22．(本题满分10分)
解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，3．
；
；
；
．
从而X的分布列为
X

X的数学期望为
． ．．．．．．5分
（2），
，
．
由和，得,即的取值范围是． ．．．．10分
23．(本题满分10分)
解：（1）∵底面，，∴AB、AD、AS两两垂直．
以为原点，AB、AD、AS所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），　　 ．．．．．．．．．．．．．．．1分

则，，，
∵且，∴设其中，
∴，， ．．．．．．．．．．．．．．．．2分
假设DE和SC垂直，则，
即，解得，
这与矛盾，假设不成立，所以DE和SC不可能垂直． ．．．．．．．．4分
（2）∵E为线段BS的三等分点（靠近B），∴．
设平面SCD的一个法向量是，平面CDE的一个法向量是，
∵，，∴，
即，即，取， ．．．．．．．．．．．．6分
∵，，∴，
即，即，取， ．．．．．．．．．．．．8分
设二面角的平面角大小为，由图可知为锐角，
∴，
即二面角S-CD-E的余弦值为． ．．．．．．．．．．．．10分

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