柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析教案资料.doc

柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析

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经典例题透析
类型一：利用柯西不等式求最值
　　1．求函数的最大值．
　　思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。
　　解析：
　　法一：∵且，
　　　　　∴函数的定义域为，且，

　　　　　当且仅当时，等号成立，
　　　　　即时函数取最大值，最大值为
　　法二：∵且，
　　　　　∴函数的定义域为
　　　　　由，
　　　　　得
　　　　　即，解得
　　　　　∴时函数取最大值，最大值为.
　　总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键．

　　举一反三：
　　【变式1】（2011辽宁，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。
　　（I）证明：-3≤f（x）≤3；
　　（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。
　　【答案】
　　(Ⅰ)
　　　　当时，．
　　　　所以．…………5分
　　(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，
　　　　当时，的解集为空集；
　　　　当时，的解集为；
　　　　当时，的解集为．
　　综上，不等式的解集为．……10分

　　【变式2】已知，，求的最值.
　　【答案】
　　法一：
　　由柯西不等式

　　于是的最大值为，最小值为.
　　法二：
　　由柯西不等式

　　于是的最大值为，最小值为.

　　【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．
　　【答案】
　　根据柯西不等式
　　，
　　故。
　　当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，
　　此时，
　　评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑．

类型二：利用柯西不等式证明不等式
　　利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。
（1）巧拆常数：
　　2．设、、为正数且各不相等，求证：
　　思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证：
　　而，又，故可利用柯西不等式证明之。
　　证明：

　　又、、各不相等，故等号不能成立
　　∴。

（2）重新安排某些项的次序：
　　3．、为非负数，+=1，，求证：
　　思路点拨：不等号左边为两个二项式积，，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。
　　证明：∵+=1
　　　　　∴

　　　　　即

（3）改变结构：
　　4、若>>，求证：
　　思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。
　　，，∴，∴所证结论改为证。
　　证明：

　　∴

（4）添项：
　　5．，求证：
　　思路点拨：左端变形，∴只需证此式即可。
　　证明：

　　举一反三：
　　【变式1】设a,b,c为正数，求证：．
　　【答案】
　　由柯西不等式：
　　，即。
　　同理，．
　　将上面三个同向不等式相加得
　　，
　　于是．

　　【变式2】设a,b,c为正数，求证：。
　　【答案】
　　由柯西不等式

　　于是
　　即

　　【变式3】已知正数满足 证明。
　　【答案】
　　利用柯西不等式

　　又因为
　　在此不等式两边同乘以2，再加上得：

　　故。

类型三：柯西不等式在几何上的应用
　　6．△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

　　证明：由三角形中的正弦定理得，所以，
　　　　　同理，
　　　　　于是左边=
　　　　　故。

　　【变式】ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。
　　【答案】

　　且
　　4x+5y+6z=
　　由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x2+y2+z2)(42+52+62)
　　≥(x2+y2+z2)×77x2+y2+z2≥。

类型四：排序不等式的简单应用
　　7．对，比较与的大小。
　　思路点拨：题目中没有给出a,b,c三个数的大小顺序，且a,b,c在不等式中的“地位”是对等的，不妨设，再利用排序不等式加以证明．
　　解析：∵，不妨设，则
　　　　　由排序原理，乱序和≤顺序和，得：

　　举一反三：
　　【变式1】比较1010×1111×1212×1313 与1013×1112×1211×1310的大小。
　　【答案】
　　因10 ≤ 11 ≤ 12 ≤ 13及 lg10 ≤ lg11 ≤ lg12 ≤ lg13，
　　由排序不等式得：
　　10lg10 + 11lg11 + 12lg12 + 13lg13 ≥ 13lg10 + 12lg11 + 11lg12 + 10lg13
　　lg(1010×1111×1212×1313) ≥ lg(1013×1112×1211×1310)
　　即1010×1111×1212×1313 ≥ 1013×1112×1211×1310。

　　【变式2】已知，求证：
　　证明：
　　由对称性，不妨设，于是，，
　　故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：
　　 ①
　　又因为，．
　　再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得：
　　 ②
　　由①②得．

　　8、设,求证：
　　证明：
　　不妨设,则，
　　由排序不等式有：
　　，

　　两式相加得：
　　又因为：，
　　故

　　两式相加得：
　　即：

　　举一反三：
　　【变式】，求证：
　　【答案】
　　证明：
　　不妨设则，
　　从而，
　　，

　　两式相加得：
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