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近世代数期末考试试卷及答案

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一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。
A、 B、 C、 D、
2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群
A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法
C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法
3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）
A、a*b=a-b　　B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|
4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（ ）
A、 B、 C、 D、
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A、不可能是群　　B、不一定是群　
C、一定是群 　D、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。
4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。
6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。
7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得。
8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为---------。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、---------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是------
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。
2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？
3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。
2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。

近世代数模拟试题三
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。
A、2阶　　B、3 阶 C、4 阶 　D、 6 阶
2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个 B、5个 C、6个 D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。
A、偶数 　B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）
A、（N,）　 B、（Z,）
C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） 　D、 (P(A),)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）
A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23)
C、(1)，(123) D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则----------。
3、区间[1，2]上的运算的单位元是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。
9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为--------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？
3、设有置换，。
1．求和；
2．确定置换和的奇偶性。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题一 参考答案
一、单项选择题。
1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：

可知为奇置换，为偶置换。 和可以写成如下对换的乘积：

2、解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。
3、答：（，）不是群，因为中有两个不同的单位元素0和m。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。
2、证明在F里

有意义，作F的子集
显然是R的一个商域 证毕。
近世代数模拟试题二 参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。
1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}
H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}
2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。
3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：
a=b+102
b=3×102+85
102=1×8517
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.
所以 p=4, q=-5.

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明 设e是群的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。
若x¢∈G也是a*x＝b的解，则x¢＝e*x¢＝(a－1*a)*x¢＝a－1*(a*x¢)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。
当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

近世代数模拟试题三 参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：
因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ，
因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。
S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：

3、解： 1．，；
2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义，因而R的任意元
这就是说=R，证毕。

2、证 必要性：将b代入即可得。
充分性：利用结合律作以下运算：
ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，
ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，
所以b=a-1。

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