1、
规范练(一) 三角函数与解三角形
1．已知向量m＝(sinx,1)，n＝(A＞0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(1)求A；
(2)将函数y＝f(x)的图象左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
(1)解 f(x)＝m·n＝Asinxcos x＋cos 2x
＝A＝Asin.
由于A＞0，由题意知A＝6.
(2)证明 由(1)得f(x)＝6sin.
将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝6sin＝6sin的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y
2、＝6sin的图象；
因此g(x)＝6sin.
由于x∈，所以4x＋∈，
故g(x)在上的值域为[－3,6]．
2．已知函数f(x)＝sin＋2cos2x－1.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a＝1，b＋c＝2，f(A)＝，求△ABC的面积．
解 (1)∵f(x)＝sin＋2cos2x－1＝sin2x－cos 2x＋cos 2x＝sin2x＋cos 2x＝sin.
∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)∵f(A)＝，∴sin＝.
又0＜A＜π，∴＜2A＋＜.
∴2A＋＝，故A＝.
在△ABC中，∵
3、a＝1，b＋c＝2，A＝，
∴1＝b2＋c2－2bccos A，即1＝4－3bc.
∴bc＝1.∴S△ABC＝bcsinA＝.
3．已知函数f(x)＝cos x(sinx－cos x)(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最大值以及取最大值时x的取值集合；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且f＝－，a＝3，b＋c＝2，求△ABC的面积．
解 (1)f(x)＝cos x(sinx－cos x)
＝sinxcos x－cos 2x
＝－－
＝sin(2x－)－.
当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋，k∈Z，
即x∈{x|x＝kπ＋，k∈Z}时，
4、f(x)取最大值1－.
(2)由f()＝－，可得sin(A－)＝0，
由于A为△ABC的内角，所以A＝，
则a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
由a＝3，b＋c＝2，
解得bc＝1，
所以S△ABC＝bcsinA＝.
4．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S，acos C＋csinA－b－c＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝，求S＋cosBcosC取最大值时S的值．
解 (1)由正弦定理，得sinA·cos C＋sinA·sin C－sinB－sinC＝0，
∴sinA·cos C＋sinA·sin C－sin(A＋C)
5、－sinC＝0，sinA·cos C＋sinA·sinC－sinAcos C－cos AsinC－sinC＝0，
∴sinA·sinC－cos A·sinC－sinC＝0，又sinC≠0，∴sinA－cos A＝1，即2sin(A－)＝1，
∴sin (A－)＝，∵－＜A－＜，
∴A－＝，∴A＝.
(2)∵＝＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，由(1)知C＝－B，
∴S＋cos Bcos C＝·bcsinA＋cos Bcos C
＝··2sinB·2sinC·＋cos Bcos C
＝sinBsinC＋cos Bcos C
＝sinB·sin(－B)＋cos B·cos (－B)
＝sin 2 B＋sin 2 B－cos2 B＋sin 2B
＝sin2B＋·(1－cos 2B)－·(1＋cos 2B)＋sin 2B
＝(sin2B－cos 2B)＋
＝sin(2B－)＋
∵0＜B＜，∴－＜2B－＜，∴当2B－＝，即B＝时，原式取得最大值，
此时S＝()2×sin＝×＝.
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