1、规范练(四)立体几何1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA底面ABCD，BDPC，E是PA的中点(1)求证：平面PAC平面EBD；(2)若PAABAC2，求三棱锥PEBD的体积 (1)证明PA平面ABCD，PABD，又BDPC，PAPCP，BD平面PAC，BD平面EBD，平面PAC平面EBD.(2)解由(1)可知BDAC，所以四边形ABCD是菱形，BAD120，SABDBDOA21.VPEBDVPABDVEABD21.2如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB2，VAVBVC2. (1)求证：OD平面VBC；(2
2、)求证：AC平面VOD；(3)求棱锥CABV的体积(1)证明O、D分别是AB和AC的中点，ODBC.又OD平面VBC，BC平面VBC，OD平面VBC.(2)证明VAVB，O为AB中点，VOAB.连接OC，在VOA和VOC中，OAOC，VOVO，VAVC，VOAVOC，VOAVOC90，VOOC.又ABOCO，AB平面ABC，OC平面ABC，VO平面ABC.又AC平面ABC，ACVO.又VAVC，D是AC的中点，ACVD.VO平面VOD，VD平面VOD，VOVDV，AC平面VOD.(3)解由(2)知VO是棱锥VABC的高，且VO.又点C是弧AB的中点，COAB，且CO1，AB2，三角形ABC的面
3、积SABCABCO211，棱锥VABC的体积为VVABCSABCVO1，故棱锥CABV的体积为.3.已知三棱柱ABCABC中，平面BCCB底面ABC，BBAC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA3，E、F分别在棱AA，CC上，且AECF2.(1)求证：BB底面ABC；(2)在棱AB上找一点M，使得CM平面BEF，并给出证明 (1)证明取BC中点O，连接AO，由于三角形ABC是等边三角形，所以AOBC，又由于平面BCCB底面ABC，AO平面ABC，平面BCCB平面ABCBC，所以AO平面BCCB，又BB平面BCCB，所以AOBB.又BBAC，AOACA，AO平面ABC，AC平面ABC.所以B
4、B底面ABC. (2)解明显M不是A，B，棱AB上若存在一点M，使得CM平面BEF，过M作MNAA交BE于N，连接FN，MC，所以MNCF，即CM和FN共面，所以CMFN，所以四边形CMNF为平行四边形，所以MN2，所以MN是梯形ABBE的中位线，M为AB的中点4正ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC的中点(如图(1)，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图(2)在图(2)中：(1)求证：AB平面DEF；(2)求多面体DABFE的体积 (1)证明在ABC中，由于E、F分别是AC、BC的中点，所以EFAB.又AB平面DEF，EF平面DEF.所以AB平面DEF(2)解由二面角ADCB是直二面角知平面ADC平面BCD，又在正ABC中，D为边AB的中点，故ADCD，所以AD平面BCD，V三棱锥ABCDSBCDAD，V三棱锥EFCDSBCDAD， 所以多面体DABFE的体积VV三棱锥ABCDV三棱锥EFCD.
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