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规范练(四) 立体几何
1．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中点．
(1)求证：平面PAC⊥平面EBD；
(2)若PA＝AB＝AC＝2，求三棱锥P－EBD的体积．
(1)证明 ∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，又BD⊥PC，PA∩PC＝P，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面EBD，
∴平面PAC⊥平面EBD.
(2)解 由(1)可知BD⊥AC，
所以四边形ABCD是菱形，
∠BAD＝120°，
∴S△ABD＝BD·OA＝×2×1＝.
∴VP－EBD＝VP－ABD－VE－ABD＝××
2、2－××1＝.
2．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB＝2，VA＝VB＝VC＝2.
(1)求证：OD∥平面VBC；
(2)求证：AC⊥平面VOD；
(3)求棱锥C－ABV的体积．
(1)证明 ∵O、D分别是AB和AC的中点，
∴OD∥BC.又OD⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，
∴OD∥平面VBC.
(2)证明 ∵VA＝VB，O为AB中点，∴VO⊥AB.
连接OC，在△VOA和△VOC中，OA＝OC，VO＝VO，VA＝VC，∴△VOA≌△VOC，
∴∠VOA＝∠VOC＝90°，∴VO⊥OC.
又∵AB∩
3、OC＝O，AB⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，
∴VO⊥平面ABC.
又∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥VO.
又∵VA＝VC，D是AC的中点，
∴AC⊥VD.
∵VO⊂平面VOD，VD⊂平面VOD，VO∩VD＝V，
∴AC⊥平面VOD.
(3)解 由(2)知VO是棱锥V－ABC的高，且VO＝＝.
又∵点C是弧AB的中点，
∴CO⊥AB，且CO＝1，AB＝2，
∴三角形ABC的面积S△ABC＝AB·CO＝×2×1＝1，
∴棱锥V－ABC的体积为VV－ABC＝S△ABC·VO＝×1×＝，故棱锥C－ABV的体积为.
3.已知三棱柱ABC－A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面A
4、BC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝3，E、F分别在棱AA′，CC′上，且AE＝C′F＝2.
(1)求证：BB′⊥底面ABC；
(2)在棱A′B′上找一点M，使得C′M∥平面BEF，并给出证明．
(1)证明 取BC中点O，连接AO，由于三角形ABC是等边三角形，所以
AO⊥BC，
又由于平面BCC′B′⊥底面ABC，AO⊂平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC＝BC，
所以AO⊥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B，所以AO⊥BB′.
又BB′⊥AC，AO∩AC＝A，AO⊂平面ABC，AC⊂平面ABC.
所以BB′⊥底面ABC.
5、2)解 明显M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一点M，使得C′M∥平面BEF，过M作MN∥AA′交BE于N，连接FN，MC′，所以MN∥CF，即C′M和FN共面，
所以C′M∥FN，
所以四边形C′MNF为平行四边形，
所以MN＝2，
所以MN是梯形A′B′BE的中位线，M为A′B′的中点．
4．正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC的中点(如图(1))，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B(如图(2))．在图(2)中：
(1)求证：AB∥平面DEF；
(2)求多面体D－ABFE的体积．
(1)证明 在△ABC中，由于E、F分别是AC、BC的中点，所以EF∥AB.
又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF.所以AB∥平面DEF
(2)解 由二面角A－DC－B是直二面角知平面ADC⊥平面BCD，又在正△ABC中，D为边AB的中点，故AD⊥CD，所以AD⊥平面BCD，
V三棱锥A－BCD＝·S△BCD·AD＝，V三棱锥E－FCD＝·S△BCD·AD＝，
所以多面体D－ABFE的体积V＝V三棱锥A－BCD－V三棱锥E－FCD＝.
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