2020届高三数学(理)考前题型专练：平面向量--Word版含答案.docx

平面对量
1．已知非零向量a，b满足向量a＋b与向量a－b的夹角为，那么下列结论中肯定成立的
是(　　)
A．|a|＝|b|　　　　　　 B．a＝b
C．a⊥b D．a∥b
2．(2022·泰安模拟)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，若a⊥(2a－b)，则k等于(　　)
A．6 B．－6
C．12 D．－12
3．(2022·泉州模拟)定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若
|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)
A．－8 B．8
C．－8或8 D．6
4．(2021·高考福建卷)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积
为(　　)
A. B．2
C．5 D．10
5．(2022·郑州市质检)已知A(1，2)，B(3，4)，C(－2，2)，D(－3，5)，则向量在向量
上的投影为(　　)
A. B.
C. D.
6．已知平面对量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值
为(　　)
A. B．－
C. D．－
7．已知i与j为相互垂直的单位向量，a＝i＋2j，b＝－i＋λj，且a与b夹角为钝角，则
λ的取值范围是(　　)
A.
B.
C．(－∞，－2)∪
D.∪
8．(2022·济南市模拟)若函数f(x)＝2sin(－2＜x＜10)的图象与x轴交于点A，
过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则 (＋)·＝(　　)
A．－32 B．－16
C．16 D．32
9．(2022·大连市双基测试)设O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积
和△AOC的面积之比为(　　)
A．3 B.
C．2 D.
10．已知点O(0，0)，A0(0，1)，An(6，7)，点A1，A2，…，An－1(n∈N，n≥2)是线段A0An的n
等分点，则|＋＋…＋OAn－1＋|等于(　　)
A．5n B．10n
C．5(n＋1) D．10(n＋1)
11．(2021·高考陕西卷)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a//b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P为矩形内一点，且AP＝，若＝λ＋μ(λ，
μ∈R)，则λ＋μ的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
13．(2022·福州模拟)在△ABC中，已知D是边AB上的一点，若＝2，＝＋λ，
则λ＝________.
14．向量a＝(cos 10°，sin 10°)，b＝(cos 70°，sin 70°)，则|a－2b|＝________．
15．(2022·湖南省五市十校联考)在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O为BC的垂直平分线上一
点，则·＝________．
16．(2022·合肥市质量检测)下列命题中真命题的编号是________．(填上全部正确的编号)
①向量a与向量b共线，则存在实数λ使a＝λb(λ∈R)；
②a，b为单位向量，其夹角为θ，若|a－b|＞1，则＜θ≤π；
③A，B，C，D是空间不共面的四点，若·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD肯定是锐角三角形；
④向量，，满足||＝||＋||，则与同向；
⑤若向量a∥b，b∥c，则a∥c.

1．解析：选A.由题意知(a＋b)·(a－b)＝0，
即|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|.
2．解析：选C.由于a⊥(2a－b)，所以a·(2a－b)＝0，即2|a|2－a·b＝0，所以2()2－(－2＋k)＝0，解得k＝12，选C.
3．解析：选B.∵cos θ＝＝＝－，∴sin θ＝，∴|a×b|＝2×5×＝8.
4．解析：选C.先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积．
∵·＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，∴⊥，∴S四边形ABCD＝||·||＝××2＝5.
5．解析：选B.依题意得＝(2，2)，＝(－1，3)，||＝，·＝－2＋6＝4，向量在向量上的投影等于＝.
6．解析：选B.由已知得，向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即3(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(0，0)，得x1＝－x2，y1＝－y2，故＝－.
7．解析：选C.由题意知a＝(1，2)，b＝(－1，λ)，
a·b＜0⇔－1＋2λ＜0⇔λ＜.当a与b的夹角为π时，λ＋2＝0即λ＝－2.综上知，λ的取值范围是(－∞，－2)∪.
8．解析：选D.由题意知，点A(4，0)，依据三角函数的图象，点B、C关于点A对称，设B(x1，y1)，则C (8－x1，－y1)．故(＋)·＝8×4＝32.
9．解析：选A.设AC、BC的中点分别为M、N，则已知条件可化为(＋)＋2(＋)＝0，即＋2＝0，所以＝－2，说明M、O、N共线，即O为中位线MN上的三等分点．
OM＝MN＝×AB＝AB
∴＝
∴＝＝3.
10．解析：选C.取n＝2，则＋＋＝(0，1)＋(3，4)＋(6，7)＝(9，12)，所以|＋＋|＝＝15，把n＝2代入选项中，只有5(n＋1)＝15，故排解A、B、D，选C.
11．解析：选C.先争辩平面对量共线的条件，再结合充要条件的概念求解．
若|a·b|＝|a||b|，
若a，b中有零向量，明显a∥b；
若a，b均不为零向量，则
|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，
∴|cos〈a，b〉|＝1，
∴〈a，b〉＝π或0，
∴a∥b，即|a·b|＝|a||b|⇒a∥b.
若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，
∴|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，
其中，若a，b有零向量也成立，
即a∥b⇒|a·b|＝|a||b|.
综上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．
12．解析：选B.由于＝λ＋μ，所以||2＝|λ＋μ|2，所以＝λ2||2＋μ2||2＋2λμ··，由于AB＝1，AD＝，AB⊥AD，所以＝λ2＋3μ2.又＝λ2＋3μ2≥2λμ，所以(λ＋μ)2＝＋2λμ≤＋＝，所以λ＋μ的最大值为，当且仅当λ＝，μ＝时取等号．
13．解析：由于＝2，所以＝，又＝＋＝＋＝＋＝＋，所以λ＝.
答案：
14．解析：∵a－2b＝(cos 10°－2cos 70°，
sin 10°－2sin 70°)，
∴|a－2b|＝

＝＝.
答案：
15．解析：取BC边的中点D，连接AD，则·＝(＋)·＝·＋·＝·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(62－102)＝－32.
答案：－32
16．解析：①不是真命题，当b＝0时，命题不成立；对于②，|a－b|＝＝＞1，解得cos θ＜，由于向量夹角范围是，所以θ∈；对于③，易知，BD＞AB，CD＞AC，所以BD2＋CD2＞AB2＋AC2＝BC2，所以∠BDC是锐角，同理可证其余两边所对的角都是锐角，所以△BCD肯定是锐角三角形；④不对，当C点位于线段AB上时，满足题设条件，但是两向量是反向的；⑤不对，当b＝0时，命题就不成立．
答案：②③