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必修5 第二章 数列 （复习1）
一 、等差数列知识点

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起， 那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。

2、等差数列的通项公式：；说明：等差数列 的单调性： 为数列
当 为常数列， 为递减数列。

3、等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差
其中 ，，成等差数列 。

4、等差数列的前和的求和公式： 。

5、等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是，

如：，，，，……；，，，，……；

（3）在等差数列中，对任意，， ， ；

（4）在等差数列中，若，，，且，则 ；
说明：设数列是等差数列，且公差为，

（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶； ② ；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①偶奇；②

6、数列最值
（1），时，有最大值；，时，有最小值；

（2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。

变式训练
1， 根据各题的条件，求等差数列的前n项和，
（1） （2）

（3）

2. 在1和15之间插入25个数，使得所得到的的27个数成等差数列。求插入的25个数的和?

3,等差数列的前n项和为，已知，则此等差数列的前n项和中，n是多少的时取最小值？

4，在等差数列中，已知

5，已知
（1）分别计算
（2）当x为何值时，取得最小值？最小值是多少？

巩固提高
1．（01天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是 数列

2．设是公差为正数的等差数列，若，，则

3．（02京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 项

4．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是

5．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝

6．（00全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn。

7．（02上海）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，
S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ ）
A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值

8．（94全国）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为

第二章 数列 （复习2）
二、等比数列知识清单
1．等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起， 数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫 ；公比通常用字母表示，即：：数列（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）

2．等比数列通项公式为：。
说明：
（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；
（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。

3．等比中项
如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的 （两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

4．等比数列前n项和公式
一般地，设等比数列的前n项和是，
当时， 或； 当q=1时，（错位相减法）。
说明：（1）和各已知三个可求第四个；
（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；
（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。

5．等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有 ；

②对于等比数列，若，则

③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么 ， ， 成等比数列。

变式训练
1， 等比数列中：
（1） （2）

（3） （4）

2，三个数成等比，它们的和是14，它们的积是64.求这个数列？

3, 三个不同数成等差数列，它们的和是6，如果将3这个 数重新排列，它们又成等比。求这个等差数列？

4，等比数列的公比为q ，求证

5，在数列中。
（1）

（2）

（3）求数列的通项公式及前n项和的公式？

6教材的P55 页。自测与评估。

巩固提高
1．在等比数列中,,则

2．和的等比中项为

3． 在等比数列中，，，求，

4．在等比数列中,和是方程的两个根,则

5. 在等比数列，已知，，求.

6．（2006年北京卷）设，则等于

7．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，
则a3＋a4＋a5＝

必修5
第二章 数列 （复习3）
三、数列通项与求和知识清单
1．数列求通项与和
（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an= 。

（2）求通项常用方法
①作新数列法。作等差数列与等比数列；
②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1；
③累商叠乘法。
④倒序相加法
⑤裂项求和
⑥并项求和
⑦错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列。

课前预习
1．已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。

2．求。

3．设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和。

4．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。

典型例题
一、有关通项问题
1、利用求通项．
例：数列的前项和．（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？

变式题1、设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；

变式题2、数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3a4的值及数列{an}的通项公式．

变式题3、（2005山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．
2、解方程求通项：
例：在等差数列中，（1）已知；

（2）已知；1

(3)已知.

变式题1、是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于

3、待定系数求通项：
例： （2006年福建卷）已知数列满足 求数列的通项公式；

二、有关等差、等比数列性质问题
例：一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为

变式1、一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为 。
变式2、等比数列的各项为正数，且
三、数列求和问题
例：已知是等差数列，其中，公差。（1）求数列的通项公式；

（2）数列从哪一项开始小于0？（3）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．
变式题1、已知是各项不为零的等差数列，其中，公差，若,求数列前项和的最大值．

变式题2、在等差数列中，，，求的最大值．

例：求和：

变式题1、已知数列和，设，求数列的前项和．

变式题2、（2007全国1文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

例：（1）已知数列的通项公式为，求前项的和；

（2）已知数列的通项公式为，求前项的和．
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