1、抛物线与直线的交点问题
1、 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m（坐标系中的水平直线）的交点问题：
①把y=m代入y=ax2+bx+c得ax2+bx+c=m，即ax2+bx+（c-m）=0
此时方程的判别式△=b2-4a(c-m)。
△＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m有两个交点；
△=0时有一个交点；
△＜0时无交点。
②特殊情形：
抛物线y=ax2+bx+c与直线y=0（x轴）的交点问题：
令y=0，则ax2+bx+c=0
此时方程的判别式△=b2-4ac
△＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点；
△=0时有一个交点；
△＜0时无交点
2、
2、抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+b的交点问题：
令ax2+bx+c=kx+b，整理方程得：ax2+(b-k)x+（c-b）=0
此时方程的判别式△=(b-k)2-4a（c-b）
△＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+b有两个交点；
△=0时有一个交点；
△＜0时无交点。
总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。
3、 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=0（x轴）的交点位置问题：
若ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0）
① 若x1x2＞0、x1+x2＞0，则抛物线y
3、ax2+bx+c与x轴的两个交点在原点右侧
② 若x1x2＞0、x1+x2＜0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点在原点左侧
③ 若x1x2＜0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分居于原点两侧
4、 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=0（x轴）的两个交点距离公式
若ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点（x1，0）、（x2，0）的距离为
︱x1-x2︱=
练习
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根是－3和1，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点是____________．
2．已知二次函数y＝
4、kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为( )
A．k>－4(7) B．k<－4(7)且k≠0 C．k≥－4(7) D．k≥－4(7)且k≠0
3．若抛物线y＝x2－８x＋c 顶点在x轴上，则c 的值等于( )．
A．４ B．８ C．－４ D．１６
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的值恒为负值的条件是( )．
A．a＞０, b2－４ac＜０ B．a＜０, b2－４ac＞０ C．a＞０, b2－４ac＞０ D．a＜０, b2－４ac＜０
5.直线y=3x－3与抛物线
5、y=x2－x+1的交点的个数是______
6．若抛物线y=（m－1）x2+2mx+m+2恒在x轴上方，则m_______．
7．抛物线顶点C(２,)，且与x 轴交于A 、B 两点，它们的横坐标是方程2x2－7x＋1＝０的两根，则S△ABC ＝ ．
8．直线y=2x1与抛物线y=x2的公共点坐标是______________．
9、不等式x2-9＞０的解集为_________________；x2＞2x+1的解集为_____________.
10．利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的根．
11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4
6、且过点B（3,0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．
12．已知抛物线y＝x2＋ax＋a－2．
(1)证明:此抛物线与x 轴总有两个不同的交点;
(2)求这两个交点间的距离;(用关于a 的表达式来表达)
(3)a 取何值时,两点间的距离最小?
13．已知抛物线y=－x2+（m－2）x+3（m+1）交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，交y轴正半轴于C点，且x1│x2│，OA2+OB2=2OC+1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线？如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．
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