浙江省绍兴一中2020-2021学年高二上学期期中考试数学(文)-Word版含答案.docx

2022学年第一学期 绍兴一中 期中测试试题卷高二（文科）数学 第I卷（共30分）一、选择题: 本大题共10小题, 每小题3分,共30分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1与向量(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为( )A. (-1,3，-2) B. (-1，-3,2) C. (1,3,2) D. (1，-3，-2)2.空间有四个点,假如其中任意三个点都不在同始终线上,那么过其中三个点的平面（ ）A.可能有三个，也可能有两个；B.可能有四个，也可能有一个；C.可能有三个，也可能有一个；D.可能有四个，也可能有三个；3.空间直线a、b、c，平面，则下列命题中真命题的是（ ）：A. 若ab,cb,则a/c; B. 若a/c,cb,则ba; C. 若a与b是异面直线, a与c是异面直线, 则b与c也是异面直线. D. 若a/ ，b/，则a/ b; 4. 某几何体的三视图如图所示，依据图中标出的数据，可得这个几何体的体积为（ ）AB CD12 5设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=（01）则点G到平面D1EF的距离为（ ） A B C D7如图，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A，B，则AB：AB ()A2：1 B3 ：1C3：2 D4 ：38下列命题错误的是（ ）A命题“若，则方程有实数根”的逆否命题是“若方程没有实数根，则”；B“”是“”的充分不必要条件；C命题“若，则，中至少有一个为零”的否命题是“若，则，中至多有一个为零”；D对于命题：，使得；则：，均有9、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的射影可能是()A B C D10如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC第卷 非选择题部分 （共70分）二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题3分, 共21分11点A(1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为 .12. 在三棱锥O-ABC中，G是ABC的重心，若a，b，c，试用基底 a ，b，c表示向量= .13已知点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的外形是_.14已知S、A、B、C是球O表面上的四个点，SA平面ABC，ABBC， SA=2,AB=BC=，则球O的表面积为_15.正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.16. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为10，则棱 =_17如图，设平面EF，AB，CD，垂足分别为B、D.若增加一个条件，就能推出BDEF.现有：AC；ACBD；AB与CD在内的射影在同一条直线上；ACEF.那么上述几个条件中能成为增加条件的是_(填上你认为正确的全部条件的序号)三、解答题: 本大题共5小题, 共49分解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤18(本小题满分8分)设命题p：x0R，x2ax0a0.命题q：xR，ax24xa2x21. （1）假如p是真命题，求实数的取值范围；（2）假如命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围PABDC19.（本小题满分9分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD， PD=DC=BC=1, AB=2, ABDC，BCD=900（1） 求证：PCBC（2） 求点A到平面PBC的距离20. （本小题满分10分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的余弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论21（本题满分10分）如图，四棱锥的底面为矩形，且，（1）平面与平面是否垂直？并说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值 22.（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1CE.(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.2022学年第一学期绍兴一中 高二数学（文）期中考答题纸一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）12345678910二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11、 . 12、 . 13、 . 14、 15、 . 16、 . 17、 . 三、解答题（本大题共5小题, 共49分解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤）18(本小题满分8分)设命题p：x0R，x2ax0a0.命题q：xR，ax24xa2x21. （1）假如p是真命题，求实数的取值范围；（2）假如命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围PABDC19.（本小题满分9分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD， PD=DC=BC=1, AB=2, ABDC，BCD=900（3） 求证：PCBC（4） 求点A到平面PBC的距离20. （本小题满分10分）如图5所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论 21（本题满分10分）如图，四棱锥的底面为矩形，且，。（1）平面与平面是否垂直？并说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值22.（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1CE.(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.2022学年第一学期 绍兴一中 期中测试试题卷高二（文科）数学 第I卷（共30分）【解析】当时，由于m，b，bm，由面面垂直的性质定理知，b.又a，ba.“”是“ab”的充分条件而当a且am时，bm，ba.而此时平面与平面不愿定垂直，“”不是“ab”的必要条件，故选A.【答案】A6.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=（01）则点G到平面D1EF的距离为（D ） A B C D7如图，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A，B，则AB：AB(A)A2：1 B3 ：1C3：2 D4 ：3 解析在RtABB中，ABABcosAB.在RtABA中，AAABsinAB.在RtAAB中，ABAB.AB：AB2：1，选A.8下列命题错误的是（ C ）A命题“若，则方程有实数根”的逆否命题是“若方程没有实数根，则”；B“”是“”的充分不必要条件；C命题“若，则，中至少有一个为零”的否命题是“若，则，中至多有一个为零”；D对于命题：，使得；则：，均有9、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的射影可能是（A ）A B C D10如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是(D)A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析在平面图形中CDBD，折起后仍有CDBD，由于平面ABD平面BCD，故CD平面ABD，CDAB.又ABAD，故AB平面ADC.所以平面ABC平面ADC第卷 非选择题部分 （共70分）二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分11点A(1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为 。 (1,0,0)，(1,2,0)【解析】点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故(1,0,0)，(1,2,0)12. 在三棱锥O-ABC中，G是ABC的重心，若a，b，c，试用基底 a ，b，c表示向量= .abcC的重心，()(2)，()abc.13已知点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的外形是_直角三角形【解析】(5,1，7).(2，3,1)，10370.，ACB90，又|，ABC为直角三角形【答案】直角三角形14已知S、A、B、C是球O表面上的四个点，SA平面ABC，ABBC， SA=2,AB=BC=，则球O的表面积为_8答案：8提示：三棱锥SABC是长方体的一角，它的外接球的直径和该长方体的外接球的直径相同2R=，R=15.正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.【解析】设正方体的棱长为1，建系如图则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)平面ACD1的法向量为(1,1,1)又(0,0,1)，则cos，.故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.16. 在长方体中，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10，则棱 =_3解：设，由题设，得，即，解得故的长为17如图，设平面EF，AB，CD，垂足分别为B、D.若增加一个条件，就能推出BDEF.现有：AC；ACBD；AB与CD在内的射影在同一条直线上；ACEF.那么上述几个条件中能成为增加条件的是_(填上你认为正确的全部条件的序号)答案解析EFBD，故正确；AB与CD确定的平面ABDC，EF平面ABDCEFBD故正确三、解答题: 本大题共5小题, 共42分解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤18(本小题满分8分)设命题p：x0R，x2ax0a0.命题q：xR，ax24xa2x21. （1）假如p是真命题，求实数的取值范围；（2）假如命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围【解】（1）当p为真时，4a24a0得a0或a1，a的取值范围为 2分（2）当q为真时，(a2)x24xa10恒成立即a2 4分由题意得，命题p与q一真一假当命题p为真，命题q为假时，得 6分当命题p为假，命题q为真时，得a.实数a的取值范围为 8分PABDC19.（本小题满分9分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD， PD=DC=BC=1, AB=2, ABDC，BCD=900（5） 求证：PCBC（6） 求点A到平面PBC的距离答案：（1）略 4分（2） 2DH= 为所求9分20（本小题满分10分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的余弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论20 解析解法一：设正方体的棱长为1，如图所示，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得B(1,0,0)，E(0,1，)，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以(1,1，)，(0,1,0)在正方体ABCDA1B1C1D1中，由于AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE与平面ABB1A1所成的角为，则sin.即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.余弦值为5分(2)依题意，得A1(0,0,1)，(1,0,1), (1,1，)设n(x，y，z)是平面A1BE得一个法向量，则由n0，n0，得所以xz，yz.取z2，得n(2,1,2)设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0t1)又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)，而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEn0(t1,1,0)(2,1,2)02(t1)10tF为C1D1的中点这说明在棱C1D1上存在一点F(C1D1的中点)，使B1F平面A1BE. 5分解法二：(1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.由于E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EMABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影， EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EMAD2， BE3.于是，在RtBEM中，sinEBM.即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连结EG，BG，CD1，FG.因A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1CA1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B.这说明A1，B，G，E共面所以BG平面A1BE.因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1FBG.而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.21.（本题满分10分）如图，四棱锥的底面为矩形，且， （）平面与平面是否垂直？并说明理由； （）求直线与平面所成角的正弦值 【解析】（I）平面平面； 证明：由题意得且 又，则 则平面, 故平面平面 5分（）以点A为坐标原点，AB所在的直线为轴建立空间直角坐标系如右图示，则, 可得, 平面ABCD的单位法向量为， 8分设直线PC与平面ABCD所成角为，则 则，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值 10分21.（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1CE.(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.【解析】如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0).(1)易得=(1，0，-1)，=(-1，1，-1)，于是=0，所以B1C1CE. 4分(2)=(1，-2，-1)，设平面B1CE的法向量m=(x，y，z)，则即消去x，得y+2z=0，不妨设z=1，可得一个法向量为m=(-3，-2，1).由(1)知B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故=(1，0，-1)为平面CEC1的一个法向量.于是cos= =-，从而sin=.所以二面角B1-CE-C1的正弦值为. 4分(3)=(0，1，0)，=(1，1，1)，设=(，)，01，有=+=(，+1，).可取=(0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量.设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin=.于是=，解得=，所以AM=.4分【一题多解】(1)由于侧棱CC1底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，所以CC1B1C1，经计算可得B1E=，B1C1=，EC1=，从而B1E2=B1+E，所以在B1EC1中，B1C1C1E，又CC1，C1E平面CC1E，CC1C1E=C1，所以B1C1平面CC1E，又CE平面CC1E，故B1C1CE.(2)过B1作B1GCE于点G，连接C1G，由(1)知，B1C1CE，B1C1，B1G平面B1C1G，B1C1B1G=B1，故CE平面B1C1G，又C1G平面B1C1G，得CEC1G，所以B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在CC1E中，由CE=C1E=，CC1=2，可得C1G=.在RtB1C1G中，B1G=，所以sinB1GC1=，即二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)连接D1E，过点M作MHED1于点H，可得MH平面ADD1A1，连接AH，AM，则MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AM=x，从而在RtAHM中，有MH=x，AH=x，在RtC1D1E中，C1D1=1，ED1=，得EH=MH=x，在AEH中，AEH=135，AE=1，由AH2=AE2+EH2-2AEEHcos135，得x2=1+x2+x，整理得5x2-2x-6=0，解得x=.所以线段AM的长为.4分