2021高考数学(福建-理)一轮学案27-平面向量的数量积及其应用.docx

学案27　平面对量的数量积及其应用
导学目标： 1.理解平面对量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面对量的数量积与向量投影的关系.3.把握数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简洁的平面几何问题.6.会用向量方法解决简洁的力学问题与其他一些实际问题．

自主梳理
1．向量数量积的定义
(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影．
(2)向量数量积的性质
①假如e是单位向量，则a·e＝e·a＝__________________；
②非零向量a，b，a⊥b⇔________________；
③a·a＝________________或|a|＝________________；
④cos〈a，b〉＝________；
⑤|a·b|____|a||b|.
2．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝________；
(2)支配律：(a＋b)·c＝________________；
(3)数乘向量结合律：(λa)·b＝________________.
3．向量数量积的坐标运算与度量公式
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝________________________；
(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔________________________；
(3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________.
(4)若A（x1，y1），B（x2，y2），则|＝________________________，所以||＝_____________________.
自我检测
1.（2010·湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,则·等于 (　　)
A．－16 B．－8 C．8 D．16
2．(2010·重庆)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝ (　　)
A．0 B．2 C．4 D．8
3．(2011·福州月考)已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，则λ等于 (　　)
A．－2 B．2 C. D．－
4.平面上有三个点A（-2，y），B（0，），C（x，y），若⊥，则动点C的轨迹方程为________________．
5.（2009·天津）若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.

探究点一　向量的模及夹角问题
例1　(2011·马鞍山月考)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；
（3）若＝a，＝b，求△ABC的面积．

变式迁移1　(1)已知a，b是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是 (　　)
A．1 B．2
C. D.
(2)已知i，j为相互垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．
探究点二　两向量的平行与垂直问题
例2　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且ka＋b的长度是a－kb的长度的倍(k>0)．
(1)求证：a＋b与a－b垂直；
(2)用k表示a·b；
(3)求a·b的最小值以及此时a与b的夹角θ.

变式迁移2　(2009·江苏)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.

探究点三　向量的数量积在三角函数中的应用
例3　已知向量a＝，
b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．

变式迁移3 （2010·四川）已知△ABC的面积S=··＝3，且cos B＝，求cos C.

1．一些常见的错误结论：
(1)若|a|＝|b|，则a＝b；(2)若a2＝b2，则a＝b；(3)若a∥b，b∥c，则a∥c；(4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0；(5)|a·b|＝|a|·|b|；(6)(a·b)c＝a(b·c)；(7)若a·b＝a·c，则b＝c.以上结论都是错误的，应用时要留意．
2．平面对量的坐标表示与向量表示的比较：
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是向量a与b的夹角.

向量表示
坐标表示
向量a的模
|a|＝＝
|a|＝
a与b的数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋y1y2
a与b共线的充要条件
A∥b(b≠0)⇔a＝λb
a∥b⇔x1y2－x2y1＝0
非零向量a，b垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
向量a与b的夹角
cos θ＝
cos θ＝
3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：
（1）要证AB=CD，可转化证明2＝2或||＝||.
（2）要证两线段AB∥CD，只要证存在唯一实数≠0，使等式＝λ成马上可．
（3）要证两线段AB⊥CD，只需证·＝0.

(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010·重庆)若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为 (　　)
A．－ B.
C．2 D．6
2．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为 (　　)
A．－6 B．－3
C．3 D．6
3.已知△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于 (　　)
A．30° B．－150°
C．150° D．30°或150°
4．(2010·湖南)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为 (　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为 (　　)
A. B.
C. D.
题号
1
2
3
4
5
答案

二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010·湖南长沙一中月考)设a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1，2sin α－1)，α∈，若a·b＝，则sin α＝________.
7．(2010·广东金山中学高三其次次月考)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
8．已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m夹角为，且m·n＝－1，则向量n＝__________________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，在线段OC上是否存在点M，使⊥，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

10．(12分)(2011·杭州调研)已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝(cos，sin)．
(1)求证：a⊥b；
(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb，满足x⊥y，试求此时的最小值．

11．(14分)(2011·济南模拟)已知a＝(1,2sin x)，b＝，函数f(x)＝a·b (x∈R)．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)＝，求cos的值．

答案 自主梳理
1．(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉　(2)①|a|cos〈a，e〉　②a·b＝0　③|a|2　　④　
⑤≤　2.(1)b·a
(2)a·c＋b·c　(3)λ(a·b)　3.(1)a1b1＋a2b2　(2)a1b1＋a2b2＝0　(3)　
(4)(x2－x1，y2－y1)　

自我检测

2．B　[|2a－b|＝
＝＝＝2.]
3．D　[由(a＋λb)·b＝0得a·b＋λ|b|2＝0，
∴1＋2λ＝0，∴λ＝－.]
4．y2＝8x(x≠0)
解析　由题意得＝，
＝，又⊥，∴·＝0，
即·＝0，化简得y2＝8x(x≠0)．
5．－2
解析　合理建立直角坐标系，由于三角形是正三角形，故设C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，这样利用向量关系式，求得＝，＝，＝，所以·＝－2.
课堂活动区
例1　解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.
∴cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|＝
＝
＝＝.
(3)∵与的夹角θ＝，
∴∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||||sin∠ABC
＝×4×3×＝3.
变式迁移1　(1)C　[∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，
开放(a－c)·(b－c)＝0⇒|c|2＝c·(a＋b)
＝|c|·|a＋b|cos θ，∴|c|＝|a＋b|cos θ＝cos θ，
∴|c|的最大值是.]
(2)λ<且λ≠－2
解析　∵〈a，b〉∈(0，)，∴a·b>0且a·b不同向．
即|i|2－2λ|j|2>0，∴λ<.
当a·b同向时，由a＝kb(k>0)得λ＝－2.
∴λ<且λ≠－2.
例2　解题导引　1.非零向量a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
2．当向量a与b是非坐标形式时，要把a、b用已知的不共线的向量表示．但要留意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不愿定都能够简化运算，要因题而异．
解　(1)由题意得，|a|＝|b|＝1，
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
∴a＋b与a－b垂直．
(2)|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2＝k2＋2ka·b＋1，
(|a－kb|)2＝3(1＋k2)－6ka·b.
由条件知，k2＋2ka·b＋1＝3(1＋k2)－6ka·b，
从而有，a·b＝(k>0)．
(3)由(2)知a·b＝＝(k＋)≥，
当k＝时，等号成立，即k＝±1.
∵k>0，∴k＝1.
此时cos θ＝＝，而θ∈[0，π]，∴θ＝.
故a·b的最小值为，此时θ＝.
变式迁移2　(1)解　由于a与b－2c垂直，
所以a·(b－2c)
＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β
＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0.
因此tan(α＋β)＝2.
(2)解　由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，
得|b＋c|＝
＝≤4.
又当β＝－时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为4.
(3)证明　由tan αtan β＝16得＝，
所以a∥b.
例3　解题导引　与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要娴熟把握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应把握三角恒等变换的相关学问．
解　(1)a·b＝cos xcos －sin xsin ＝cos 2x，
|a＋b|＝
＝＝2|cos x|，
∵x∈，∴cos x>0，
∴|a＋b|＝2cos x.
(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1
＝22－.
∵x∈，∴≤cos x≤1，
∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；
当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.
变式迁移3　解　由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S＝bcsin A＝.
·＝bccos A＝3>0，
∴A∈，cos A＝3sin A.
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sin A＝，cos A＝.
由题意cos B＝，得sin B＝.
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝.
∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－.
课后练习区
1．D　[由于a·b＝6－m＝0，所以m＝6.]
2．D　[由(2a＋3b)·(ka－4b)＝0得2k－12＝0，∴k＝6.]
3．C　[∵S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝，
∴sin∠BAC＝.又a·b<0，
∴∠BAC为钝角．∴∠BAC＝150°.]
4．C　[由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＝－|b|2.
cos〈a，b〉＝＝＝－.
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.]
5．B　[由于a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，
所以，a在b上的投影为|a|·cos〈a，b〉
＝＝＝＝.]
6.
解析　∵a·b＝cos 2α＋2sin2α－sin α＝，
∴1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝，∴sin α＝.
7．120°
解析　设a与b的夹角为θ，∵c＝a＋b，c⊥a，
∴c·a＝0，即(a＋b)·a＝0.∴a2＋a·b＝0.
又|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos θ＝0.
∴cos θ＝－，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.
8．(－1,0)或(0，－1)
解析　设n＝(x，y)，由m·n＝－1，
有x＋y＝－1.①
由m与n夹角为，
有m·n＝|m|·|n|cos ，
∴|n|＝1，则x2＋y2＝1.②
由①②解得或，
∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．
9．解 设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)，
＝2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分)
∵⊥，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)
即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝.
∴M点坐标为(2,1)或.
故在线段OC上存在点M，使⊥，且点M的坐标为(2,1)或(，)．………(12分)
10．(1)证明　∵a·b＝cos(－θ)·cos＋sin·sin
＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a⊥b.……………………………………………………(4分)
(2)解　由x⊥y得，x·y＝0，
即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，
∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0，
∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.………………………………………………………………(6分)
又|a|2＝1，|b|2＝1，
∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.…………………………………………………………(8分)
∴＝＝t2＋t＋3
＝2＋.……………………………………………………………………………(10分)
故当t＝－时，有最小值.………………………………………………………(12分)
11．解　(1)f(x)＝a·b＝2cos＋2sin x
＝2cos xcos －2sin xsin ＋2sin x
＝cos x＋sin x＝2sin.…………………………………………………………(5分)
由＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递减区间是
(k∈Z)．……………………………………………………………(8分)
(2)由(1)知f(x)＝2sin.
又由于2sin＝，
所以sin＝，……………………………………………………………………(11分)
即sin＝cos＝cos＝.
所以cos＝2cos2－1＝.………………………………………………(14分)