【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第11章-第2节-复数的概念与运算.docx

第十一章　其次节

一、选择题
1．(文)(2022·唐山市二模)已知a∈R，若为实数，则a＝(　　)
A．2　　 B． －2　　　
C．－ D．
[答案]　D
[解析]　＝＝，由已知得1＋2a＝0，∴a＝－.
(理)(2021·郑州模拟)设i是虚数单位，若复数为实数，则实数a为(　　)
A．2　　 B．－2　 　　
C．－　　 　 D.
[答案]　A
[解析]　∵a∈R，＝
＝∈R，∴a＝2.
2．(2022·唐山市一模)设(2＋i)＝3＋4i，则z＝(　　)
A．1＋2i　　　　　 B．1－2i　　　　
C．2＋i　　　　　 D．2－i
[答案]　D

[解析]　∵＝＝＝＝2＋i，
∴z＝2－i.
3．(文)(2022·东北三省三校二模)已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝(　　)
A．－－i B．－＋i
C.＋i D．－i
[答案]　D
[解析]　∵z＝－＋i，∴＝－－i，|z|＝1，
∴＋|z|＝－i.
(理)(2022·郑州质检)若复数z满足(2－i)z＝|1＋2i|，则z的虚部为(　　)
A.　　　　　　 B．i　　　　　　　　
C．1　　　　　　 D．i
[答案]　A
[解析]　∵(2－i)z＝|1＋2i|＝，∴z＝＝＝＋i，∴复数z的虚部为.
4．(2021·长沙模拟)已知集合M＝{i，i2，，}，i是虚数单位，Z为整数集，则集合Z∩M中的元素个数是(　　)
A．3个 B．2个　　
C．1个 D．0个
[答案]　B
[解析]　由已知得M＝{i，－1，－i,2}，Z为整数集，
∴Z∩M＝{－1,2}，即集合Z∩M中有2个元素．
5．(2022·豫东、豫北十所名校段测)已知i为虚数单位，复数z满足zi＝()2，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　 B．其次象限
C．第三象限　　　 D．第四象限
[答案]　C
[解析]　zi＝()2＝＝，∴z＝＝＝－4＋3i，∴＝－4－3i，故选C.
6．若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是(　　)
A. B．　　
C. D．
[答案]　D
[解析]　∵z2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴.
∴2θ＝2kπ＋π　(k∈Z)，
∴θ＝kπ＋.令k＝0知，D正确．
二、填空题
7．(文)在复平面内，z＝cos10＋isin10的对应点在第______象限．
[答案]　三
[解析]　∵3π<10<，∴cos10<0，sin10<0，
∴z的对应点在第三象限．
(理)一个正四周体玩具，它的四个面上标有数字－1,0,1,2，连续抛掷两次，记第一次向下的面上数字为a，其次次向下的面上数字为b，设复数z＝a＋bi，则z的对应点在其次象限的概率为______．
[答案]　
[解析]　若z＝a＋bi的对应点在其次象限，则a<0，b>0，这样的点有2个，即(－1,1)，(－1,2)，∴所求概率为P＝＝.
8．(2022·黑龙江佳木斯第一中学调研)已知i为虚数单位，若＝2＋i(a，b∈R)，则ab＝________.
[答案]　3
[解析]　a＋bi＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i，
∵a、b∈R，∴a＝1，b＝3，∴ab＝3.
9．(2022·江苏东海二中调研)已知z是纯虚数，是实数(i是虚数单位)，那么z＝________.
[答案]　－2i
[解析]　令z＝bi(b∈R且b≠0)，＝＝＝是实数，所以b＝－2，z＝－2i.
三、解答题
10．(2021·青岛调研)已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：
(1)实数；(2)纯虚数．
[解析]　(1)当z为实数时，则有

∴∴a＝6，即a＝6时，z为实数．
(2)当z为纯虚数时，则有
∴
∴不存在实数a使z为纯虚数.

一、选择题
11．(2022·山西高校附中月考)设复数ω1＝－＋i，ω2＝cos＋isin，若z＝ω1·ω2，则复数z的虚部为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
[答案]　D
[解析]　解法1：cos＝，sin＝，∴ω1·ω2＝(－＋i)·(＋i)＝－－i＋i－＝－＋i，∴复数ω1·ω2的虚部为.
解法2：若z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，则z1z2＝cosαcosβ－sinαsinβ＋i(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)．
∵ω1＝－＋i＝cos＋isin，ω2＝cos＋isin，
∴z＝ω1ω2＝cos(＋)＋isin(＋)
＝cos＋isin＝－＋i，∴z的虚部为.
12．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝sinβ＋icosβ，(α，β∈R)，复数z＝z1·2的对应点在其次象限，则角α＋β所在象限为(　　)
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　C
[解析]　∵z＝(cosα＋isinα)·(sinβ－icosβ)＝sin(α＋β)－icos(α＋β)的对应点在其次象限，
∴，∴角α＋β的终边在第三象限．
13．(2022·豫东、豫北十所名校阶段测试)设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，且(－1)(1＋i)＝2i，则复数z的模为(　　)
A．5 B．　　
C．2－i D．1
[答案]　B
[解析]　－1＝＝＝i＋1，∴＝2＋i，∴z＝2－i，∴|z|＝.
14．(2022·北京大兴期末)已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)

[答案]　A
[解析]　由题图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)，故A正确．
二、填空题
15．(2022·武汉调研)若复数z＝(m2－7m＋15)＋(m2－5m＋3)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点位于直线y＝－x上，则m＝________.
[答案]　3
[解析]　复数z在复平面内对应的点是(m2－7m＋15，m2－5m＋3)，则m2－5m＋3＝－(m2－7m＋15)，解得m＝3.
16．关于x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为区间(－，2)，则复数m＋ni所对应的点位于复平面内的第________象限．
[答案]　三
[解析]　∵mx2－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集为(－，2)，
∴∵m<0，∴p>0，n<0.
故复数m＋ni所对应的点位于复平面内的第三象限．
三、解答题
17．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求z的实部的取值范围；
(2)设u＝，那么u是不是纯虚数？并说明理由．
[解析]　(1)设z＝a＋bi(a、b∈R，b≠0)，
ω＝a＋bi＋＝＋i，
∵ω是实数，∴b－＝0.
又b≠0，∴a2＋b2＝1，ω＝2a.
∵－1<ω<2，∴－正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次毁灭的点数为a，其次次毁灭的点数为b.
(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求大事“z－3i为实数”的概率；
(2)求点P(a，b)落在不等式组表示的平面区域内(含边界)的概率．
[解析]　(1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3.
依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6，故b＝3的概率为.
即大事“z－3i为实数”的概率为.
(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：

1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．

不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．
由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．
所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝＝.