2020-2021学年北师大版高中数学必修一课时作业(九)-2.2.3.docx

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课时提升作业(九)
映　　射

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2022·济源高一检测)已知集合A={a,b},集合B={0,1},下列对应不是A到B的映射的是(　　)

【解析】选C.A,B,D均满足映射的定义,C不满足,A中元素a在B中有两个元素与之对应,且A中元素b在B中无元素与之对应.
2.(2022·延安高一检测)设集合A={2,4,6,8,10},B={1,9,25,49,81,100},下面的对应关系f能构成A到B的映射的是(　　)
A.f：x→(x-1)2 B.f：x→(2x-3)2
C.f：x→-2x-1 D.f：x→(2x-1)2
【解析】选A.观看集合A与B中的元素,可知集合A中元素减1后的平方对应集合B中的元素.故选项A构成从A到B的映射.
【变式训练】(2022·安庆高一检测)设集合A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4},则下述对应关系f中,不能构成A到B的映射的是(　　)
A.f：x→y=x2 B.f：x→y=3x-2
C.f：x→y=-x+4 D.f：x→y=4-x2
【解析】选D.对于选项A,当1≤x≤2时,y=x2∈[1,4],符合题意;对于选项B,当1≤x≤2时,y=3x-2∈[1,4],符合题意;对于选项C,当1≤x≤2时,y=-x+4∈[2,3]⊆[1,4],符合题意;对于选项D,当1≤x≤2时,y=4-x2∈[0,3],不合题意.
3.(2022·南昌高一检测)设集合A={a,b,c},集合B=R,以下对应关系中,确定能建立集合A到集合B的映射的是(　　)
A.对集合A中的数开平方 B.对集合A中的数取倒数
C.对集合A中的数取算术平方根 D.对集合A中的数立方
【解析】选D.当a<0时,对a开平方或取算术平方根均无意义,则A,C项错;当a=0时,对a取倒数无意义,则B项错;由于任何实数都有立方,并且其立方仅有一个,所以对集合A中的数立方能建立映射.
4.(2022·丰城高一检测)已知a,b为实数,集合M=ba,1,N={a,0},f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.±1
【解析】选C.由已知可得M=N,故a=1,ba=0,
解得a=1,b=0,所以a+b=1.
5.对全集U,假如存在两个非空集合A,B,满足A∩B=∅,A∪B=U,则集合A,B就称为集合U的一个分割,若U={小于等于10的正奇数},把集合U分割成A,B,使得B中的元素大于A中的元素,并在集合A到集合B之间建立映射f则可建立的映射f的个数是(　　)
A.4 B.22 C.25 D.45
【解题指南】本题关键是找到A, B分割的全部可能,然后借助公式求出每种分割中映射的个数.
【解析】选B.全部的分割为①{1},{3,5,7,9},②{1,3},{5,7,9},
③{1,3,5},{7,9},④{1,3,5,7},{9},其中分割①可建立4个映射,分割②可建立32=9个映射,分割③可建立23=8个映射,分割④只能建立1个映射,故共可以建立映射4+9+8+1=22个.
6.(2022·安阳高一检测)A={a,b,c},B={1,2},从A到B建立映射,使f(a)+f(b)+f(c)=4则满足条件的映射个数是(　　)
A.2 B.3 C.5 D.7
【解题指南】结合f(a)+f(b)+f(c)=4,利用列举法求解.
【解析】选B.如表所示.
f(a)
f(b)
f(c)
f(a)+f(b)+f(c)
1
1
1
3
1
1
2
4
1
2
1
4
1
2
2
5
2
2
2
6
2
2
1
5
2
1
2
5
2
1
1
4
【误区警示】本题易因列举不全而导致漏解.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2022·昆明高一检测)设f：A→B是集合A到集合B的映射,其中A={正实数},B=R,f：x→x2-2x-1,则A中元素1+2在B中的对应元素为　　　　　　,B中元素-1在A中的对应元素为　　　　　　.
【解析】当x=1+2时,x2-2x-1=(1+2)2-2×(1+2)-1=0,
所以1+2在B中的对应元素是0.
当x2-2x-1=-1时,x=0或x=2.
由于0∉A,所以-1在A中的对应元素是2.
答案：0　2
8.设A到B的映射f1：x→2x+1,B到C的映射f2：y→y2-1,则A到C的映射f3是　　　　.
【解析】x→2x+1,(2x+1)2-1=4x2+4x,
即z→4z2+4z.
答案：z→4z2+4z
9.(2022·武汉高一检测)设M=N=R,f：x→-x2+2x是从M到N的映射,若对于N中元素p,在M中恰有一个原像,则p的值为　　　　.
【解析】由题意知,关于x的方程-x2+2x=p有两相等实根,所以Δ=4-4p=0,所以p=1.
答案： 1
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.设A=R,B=R,f：x→2x+12是A→B的映射.
(1)设a∈A,则1+a在B中对应的元素是什么?
(2)若t∈A,且t-1在f下对应B中的元素是6,则t应是多少?t在映射f下对应B中的元素是什么?
【解析】(1)由于a∈A,A=R,所以1+a∈A,
所以1+a在f：x→2x+12下对应的元素为2a+32.

(2)由t∈A,A=R知t-1∈A,
所以t-1在f：x→2x+12下对应的元素为2t-12.
令2t-12=6得t=132.
易知t=132在f下对应B中的元素为2×132+12=7.
11.已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},且a∈N,k∈N,x∈A,y∈B,映射f：A→B,使B中元素y=3x+1和A中元素x对应,求a及k的值.
【解析】由于B中元素y=3x+1和A中元素x对应,
所以A中元素1的像是4;2的像是7;3的像是10,
即a4=10或a2+3a=10.
由于a∈N,
所以仅有a2+3a=10,得a=2,a=-5(舍).
则有k的像是a4.
所以3k+1=24,得k=5.
【举一反三】本题中“映射f：A→B,使B中元素y=3x+1和A中元素x对应”改为“有对应关系f：x→y=px+q是从集合A到集合B的一个映射,且f(1)=4,f(2)=7”,其他条件不变,试求p,q的值及对应关系.
【解析】由f(1)=4,f(2)=7,列方程组：
p+q=4,2p+q=7⇒p=3,q=1.故对应关系为f：x→y=3x+1.

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2022·临沂高一检测)在映射f：A→B中,A=B={(x,y)|x,y∈R},且f：(x,y)→(x-y,x+y),则与A中的元素(-1,2)对应的B中的元素为(　　)
A.(-3,1) B.(1,3)
C.(-1,-3) D.(3,1)
【解析】选A.由所给的x=-1,y=2可知x-y=-3,x+y=1.
2.(2022·安阳高一检测)设A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列能表示从集合A到集合B的映射的是(　　)

【解题指南】推断能否成为从集合A到集合B的映射的图像,只要紧扣映射的定义即可.
【解析】选D.对于A,当x=0时,y=0∉{y|1≤y≤2},不是从A到B的映射;对于B,当x=2时,y=0∉{y|1≤y≤2},也不是从A到B的映射;对于C,当x=0时,y=1且y=2,即集合A中的一个元素0与集合B中的两个元素1和2相对应,所以也不是从A到B的映射;对于D,集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应,所以是从A到B的映射.
【举一反三】设A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤2},下列各图中能表示集合A到集合B的映射的是(　　)

【解析】选D.对于A,集合A中的元素0无像,对于B,集合A中的元素2无像,对于C,集合A中的一个元素会对应集合B中的两个元素,只有D符合映射的定义.
【误区警示】本题易因审图不清而错选A或B.
3.设f：x→ax-1为从集合A到B的映射,若f(2)=3,则f(3)为(　　)
A.5 B.3 C.2 D.4
【解析】选A.由于f(2)=3,所以2a-1=3,所以a=2.
所以f：x→2x-1,
所以f(3)=2×3-1=5.
4.(2022·桂林高一检测)已知映射f：A→B,其中A=B=R,对应关系f：x→y=x2-2x+2.若对实数k∈B,在集合A中不存在原像,则k的取值范围是(　　)
A.k≤1 B.k<1 C.k≥1　　 　 D.k>1
【解析】选B.实数k的取值范围是函数y=x2-2x+2的值域[1,+∞)的补集,所以k<1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知映射f：A→B,即对任意a∈A,f：a→|a|.其中集合A={-32,-1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在f下的对应元素,则集合B中元素的个数是　　　　.
【解析】|-3|=3,|-2|=2,
|-1|=1,|4|=4,且集合元素具有互异性,
故B中共有4个元素.
答案：4
6.(2022·西安高一检测)已知集合A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f：A→B是从A到B的映射,x→(x+1,x2+1),则A中元素2在B中的对应元素为　　　　,B中元素32,54在A中的对应元素为　　　　.
【解题指南】对A中元素,求像只需将原像代入对应关系即可,对于B中元素求原像,可先设出它的原像,然后利用对应关系列出方程组求解.
【解析】将x2代入对应关系,可求出其在B中的对应元素(2+1,3).
设B中元素32,54在A中的原像为x,
由x+1=32,x2+1=54,得x=12.
所以2在B中的对应元素为(2+1,3),32,54在A中的对应元素为12.
答案：(2+1,3)　12
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2022·重庆高一检测)已知A={1,2,3,4},B={5,6},取适当的对应关系.
(1)以集合A为定义域、B为值域(留意：值域为B,而不是B的子集,即B中元素都有原像)的函数有多少个?
(2)在全部以集合A为定义域、B为值域的函数中,满足条件f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)的函数有多少个?
【解析】(1)依据映射与函数的定义,集合A中的元素均可与B中的两个元素对应,故从A到B可建立24=16个函数,但在1,2,3,4都对应5或都对应6这两种状况下,值域不是B,应予以排解,所以以集合A为定义域、B为值域的函数有14个.
(2)在上述14个函数中,满足条件
f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)的函数具体为(一一列举)：
f(1)=5,f(2)=f(3)=f(4)=6;
f(1)=f(2)=5,f(3)=f(4)=6;
f(1)=f(2)=f(3)=5,f(4)=6.
所以满足条件的函数共有3个.
8.已知集合A={x|-2≤x≤2},B={x|-1≤x≤1}.对应关系f：x→y=ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：A→B,求实数a的取值范围.
【解析】①当a≥0时,集合A中元素的像满足
-2a≤ax≤2a.
若能够建立从A到B的映射,
则[-2a,2a]⊆[-1,1],
即-2a≥-1,2a≤1,所以0≤a≤12.
②当a<0时,集合A中元素的像满足2a≤ax≤-2a,
若能建立从A到B的映射,
则[2a,-2a]⊆[-1,1],
即2a≥-1,-2a≤1,所以-12≤a<0,
综合①②可知-12≤a≤12.
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