2021高中数学北师大版选修2-3学案：《两种计数原理的综合应用》.docx

第3课时　两种计数原理的综合应用

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简洁的实际问题.
2.通过实例总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理规律,能依据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简洁的实际问题.
3.过程与方法:引导同学形成 “自主学习”“合作学习”等良好的学习方式,培育同学的归纳概括力量.

先看下面的问题:
①从我们班上推选出两名同学担当班长,有多少种不同的选法?
②把我们的同学排成一排,共有多少种不同的排法?
要解决这些问题,就要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这节课,我们从具体例子动身来进一步学习、理解这两个原理.

问题1:分类加法计数原理
做一件事情,完成它可以有n类方法,在第一类方法中有m1种不同的方法,在其次类方法中有m2种不同的方法,…,在第n类方法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=　　　　　　　　种不同的方法. 
问题2:分步乘法计数原理
做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做其次步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事有N=　　　　　　　　种不同的方法. 
问题3:理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点
①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题;
②不同点:分类加法计数原理针对的是　　　　　　问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法　　　　　　,各类中的各种方法也　　　　　　,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是　　　　　　问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当　　　　　　都完成后,才算完成这件事. 
问题4:完成一件事,分类加法计数原理、分步乘法计数原理的选择
分类加法计数原理的各类方法是　　　　　　的,用任何一种方法可以完成这件事,而分步乘法计数原理的各个步骤是　　　　　　的,必需完成每个步骤,才能完成这件事. 
依据具体问题的特征,正确生疏分类和分步的特征,才能正确选择分类　　　　　　计数原理或　　　　　　乘法计数原理来解决问题. 

1.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是(　　).
A.9　　 B.14　 C.15　　　　 D.21
2.3位同学参与某种形式的竞赛,竞赛规章规定:每位同学必需从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得20分,答错得-20分;选乙题答对得10分,答错得-10分.若3位同学的总分为0,则这3位同学不同得分状况的种数是(　　).
A.3 B.4 C.6 D.8

3.如图,某电子元件是由3个电阻组成的回路,其中有4个焊点A、B、C、D,若某个焊点脱落,整个电路就不通,现在发觉电路不通了,那么焊点脱落的可能状况共有　　　　种. 
4.某校同学会由高一班级5人,高二班级6人,高三班级4人组成.选其中1人为同学会主席,有多少种不同的选法?

分步乘法计数原理的应用
把3封信投到4个信箱,全部可能的投法共有多少种?

用加法原理和乘法原理分析电路中的问题
如图,电路中共有7个电阻与一个电灯A,若灯A不亮,分析因电阻断路的可能性共有多少种状况.

分类加法计数原理和分步乘法计数原理综合问题
把由0,1,2,3,4组成无重复数字的全部五位数从小到大进行排列,23140排在第几个?

超市有四个门,某人到超市购物,从其一个门进,从另一门出,则不同的进出方式有多少种?

如图,电路中共有5个电阻与一个电灯A,若灯A不亮,分析因电阻断路的可能性共有多少种状况.

有一项活动,需在3名老师、8名男生和5名女生中选人参与.
(1)若只需1人参与,有多少种不同选法?
(2)若需老师、男生、女生各一人参与,有多少种不同的选法?
(3)若需一名老师和一名同学参与,有多少种不同的选法?

1.如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为(　　).
A.96 B.84 C.60 D.48
2.从1到10的正整数中,任意抽取两个相加所得的和为奇数的不怜悯形的种数是(　　).
A.10　　　 B.15　　 C.20　 D.25
3.一个乒乓球队里有男队员5名,女队员4名,从中选出男、女队员各一名组成混合双打,共有　　　　种不同的选法. 
4.甲、乙、丙三个人踢球,相互传递,由甲开头踢出,则经过4次传递后,足球被踢回甲的踢球传递方式有多少种?

　　(2022年·山东卷)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为(　　).
A.232　 B.252　 C.472　 D.484

　　考题变式(我来改编):

第3课时　两种计数原理的综合应用
学问体系梳理
问题1:m1+m2+…+mn
问题2:m1×m2×…×mn
问题3:②“分类”　相互独立　相对独立　“分步”　各个步骤
问题4:相互独立　相互依存　加法　分步
基础学习沟通
1.B　当x=2时,x≠y,点的个数为1×7=7(个);当x≠2时,x=y,点的个数为7×1=7(个),则共有14个点,故选B.
2.C　由题意总分为0分二类:第一类得分为20,-10,-10;其次类为-20,10,10.每类有三种状况,总共有6种状况.
3.15　当线路不通时,焊点脱落的可能状况共有2×2×2×2-1=15种.
4.解:若当选同学会主席的为高一同学,则有5种选法;若当选同学会主席的为高二同学,则有6种选法;若当选同学会主席的为高三同学,则有4种选法.依据加法原理,不同的选法种数为N=5+6+4=15.
重点难点探究
探究一:【解析】第1封信投到信箱中有4种投法;第2封信投到信箱中也有4种投法;第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可得共有43种方法.
【小结】解决计数问题的基本策略是合理分类和分步,然后应用加法原理和乘法原理来计算.解决本题易消灭的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算消灭错误,误认为每个信箱有3种选择,所以可能的投法有34种,没有留意到一封信只能投在一个信箱中.
　　探究二:【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态,图中从上到下的三条支线路,分别记为支线a、b、c,
支线a电阻断路时有R1,R2,R1和R2断路3种状况
支线b电阻断路时有R3,R4,R3和R4断路3种状况;
支线c电阻断路的有R5,R6,R7,R5和R6,R5和R7,R6和R7,R5、R6和R7断路7种状况,
由于灯A不亮,所以a、b、c三条支线都消灭了电阻断路,
因此灯A不亮的状况共有3×3×7=63种状况.
【小结】电路中,当主线中的串联电阻消灭一个断路时,整个电路就不通;当并联电路的每一条支线都消灭断路时,整个电路才不通.
　　探究三:【解析】第一类:万位数为1的五位数的个数为4×3×2×1=24;
其次类:万位数为2、千位数是0或1的五位数的个数为2×3×2×1=12;
第三类:万位数为2、千位数是3、百位数是0的五位数的个数为2×1=2;
第四类:万位数为2、千位数是3、百位数是1的五位数分别为23104和23140,
所以比23140小的数共有24+12+2+1=39个,故从小到大进行排列,23140排在第40个.
【小结】(1)对于一些比较简单的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清楚.
(2)当两个原理混合使用时,一般是先分类,在每类方法里再分步.
思维拓展应用
应用一:从四个门选取两个门作为进门和出门,有4×3=12种方式.
　　应用二:当R5断路时,灯A不亮,此时R1,R2,R3,R4分别有2种情形,利用乘法原理,即有2×2×2×2=16种状况;
当R5通路时,R1,R2至少一个断路,有3种情形,同时R3,R4至少一个断路,有3种情形,利用分步乘法原理,即有3×3=9种状况.
依据分类加法计数原理可得,灯A不亮时共有16+9=25种状况.
　　应用三:(1)分三类:取老师有3种选法;取男生有8种选法;取女生有5种选法,故共有3+8+5=16种选法.
(2)分三步:第一步选老师,其次步选男生,第三步选女生,
故共有3×8×5=120种选法.
(3)分两步:第一步选老师,其次步选同学.对其次步,又分为两类:第一类选男生,其次类选女生,故共有3×(8+5)=39种选法.
基础智能检测
1.B　可依次种A、B、C、D四块,当C与A种同一种花时,有4×3×1×3=36种种法;当C与A所种花不同时,有4×3×2×2=48种种法,依据分类加法计数原理可得,不同的种法种数为36+48=84,故选B.
2.D　当且仅当偶数加上奇数后和为奇数,从而不怜悯形有5×5=25种,故选D.
3.20　“完成这件事”需选出男、女队员各一名,可分两步进行:第一步选一名男队员,有5种选法;其次步选一名女队员,有4种选法,共有5×4=20种选法.
4.解:第一类:第2次传递后球在甲的脚下,此时第1次传递有2种方式,第3次传递有2种方式,依据乘法原理,足球4次传递踢回甲的方式有2×2=4种.
其次类:第2次传递后球不在甲的脚下,此时只有两种传递方式,即“甲-乙-丙-乙-甲”和“甲-丙-乙-丙-甲”.
依据加法原理,足球4次传递踢回甲的方式有4+2=6种.
全新视角拓展
C　若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有4×4×4=64种;若2色相同,则有3×2×6×4=144种;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有4×3×4×4=192种,犹如色则有4×3×6=72种,所以共有64+144+192+72=472,故选C.
思维导图构建
m1+m2+…+mn　m1×m2×…×mn