重庆市2022届高三上学期第四次月考-数学文-Word版含答案.docx

第四次月考数学文试题

数学试题（文史类）满分150分，考试时间120分钟
留意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。
2.答选择题时，必需使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦洁净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必需使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.全部题目必需在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的
（1）已知全集,集合,,则
（A） 　 （B） （C） 　 （D）
（2）命题，，则为
（A） （B）
（C） （D）

（3）为了了解某种进口茶叶的质量（单位：克），从 中抽取若干包进行检查，获得样本的频率分布直方图如图所示.若已知样本中质量在内的茶叶有10包，则样本容量为
（A） （B） （C） （D）
（4）已知圆与直线相交于两点，则
（A） （B） （C） （D）

（5）函数的定义域为
（A） （B） （C） （D）
（6）阅读右侧程序框图，输出结果的值为
（A） （B） （C） （D）
（7）某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为
（A） （B） （C） （D）

正视图
侧视图
俯视图
2
2
2

（8）已知，则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（9）过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D
（10）定义域为的函数对任意都有，且其导函数满足
，则当时，有
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上
（11）已知，若，则实数________.
（12）已知复数在复平面内对应的点分别为，则等于________.
（13）若数列满足，且，则等于________.
（14）计算：_______.
（15）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为的圆面，中间有边长为的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为的球）正好落入孔中的概率是 .(不作近似计算)

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
已知等差数列满足：.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问3分，（III）小问4分）
为了了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，记录了小李第天打篮球的时间（单位：小时）与当天投篮命中率的数据，其中.
算得：.
（Ⅰ）求投篮命中率对打篮球时间的线性回归方程；
（Ⅱ）推断变量与之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若小李明天预备打球小时，猜想他的投篮命中率.
附：线性回归方程中，其中为样本平均数.

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
设的内角的对边分别为,.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若,求.

（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
在如图所示的多面体中，平面，平面，
，为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元.设该公司一年内生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且
（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（Ⅱ）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大年利润.（注：年利润=年销售收入-年总成本）.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
已知动点到直线 的距离是它到点的距离的倍.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设轨迹上一动点满足：，其中是轨迹上的点，直线与的斜率之积为，若为一动点，为两定点，.

参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
C
D
C
A
B
C
D
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上
题号
11
12
13
14
15
答案

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（16）本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
【解】（Ⅰ）设的首项为，公差为，则由得
（Ⅱ）由得.

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问3分，（III）小问4分）
【解】（I）由题意知：
于是：
故：所求回归方程为
（II）由于变量的值随着的值增加而增加（），故变量与之间是正相关
（III）将带入回归方程可以猜想他的投篮命中率为

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
【解】(Ⅰ)由于,
所以. 由余弦定理得,, 因此,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以
由于，解得：
,

（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
【解】方法一：几何法
(Ⅰ)取的中点，连结
一方面：由于,
又①
另一方面：由于,所以②
由①②可得：,

(II)由,
在平面内作,
,

,
且

由三角形的等面积法的 .
方法二：坐标法
在平面内，过作，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示
则：

(Ⅰ)由于平面，故平面的法向量
而，所以，即，故平面
(II)平面中，
设平面的法向量为，则
取，则，又
所以：点到平面的距离
又在中，，所以面积
所以：三棱锥的体积

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
【解】（1）当时，
当时，
所以：
（2）①当时，由得
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减
于是：
②当时，
当且仅当即时取等号，于是：
综合①②知：当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，为万元.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
【解】(Ⅰ) 点到直线x=的距离,是到点的距离的倍，则
，化简得
（Ⅱ）设，,则由得,
即
由于点在椭圆上，所以,
故
设分别为直线的斜率，由题意知，
，因此，所以
所以点是椭圆上的点，而恰为该椭圆的左右焦点，所以由椭圆的定义，.