1、第2讲 直线与圆的位置关系
一、填空题
1．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，则BC＝________．
解析 延长BC交AD的延长线于P，
∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠P＝30°，∠CDP＝∠B＝90°.
在Rt△CDP中，CD＝1，
∴PC＝2.
在Rt△ABP中，
BP＝AB＝2，
∴BC＝BP－PC＝2－2.
答案 2－2
2．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________．
解析 由弦切角定理得∠PAB＝
2、∠ACB，又由于∠BAC＝∠APB，所以△PAB∽△ACB，可得＝，将PB＝7，BC＝5代入得AB＝.
答案
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝________.
解析 由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，
又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.
答案 2
4. 如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于D，则＝________.
3、
解析 ∵∠C＝90°，AC为圆的直径，
∴BC为圆的切线，AB为圆的割线，
∴BC2＝BD·AB，即16＝BD·5，解得BD＝，
∴DA＝BA－BD＝5－＝，∴＝.
答案
5. 如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若＝，＝，则的值为________．
解析 ∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，
∴△PCB∽△PAD，
∴＝＝，
∵＝，＝，∴＝.
答案
6. 如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.
解析 由题意知，AB＝6，AE＝1，
∴BE＝5.∴
4、CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.
答案 5
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠BCD＝______度．
解析：∵∠BOD＝110°，
∠BAD＝∠BOD，
∴∠BAD＝55°.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝125°.
答案：125
8. 如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为________．
解析 ∵AC、AD分别是两圆的切线，
∴∠C＝∠2，∠1＝∠
5、D，
∴△ACB∽△DAB.
∴＝，
∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.
∴AB＝＝2(舍去负值)．
答案 2
二、解答题
9．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，
证明：(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)由于D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
由于CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.
(2)由于FG∥BC，故GB＝CF.
6、由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.
由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.
而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，
故△BCD∽△GBD.
10．如图，已知AB是半圆的直径，D是AB上的一点，CD⊥AB，CD交半圆于点E，CT是半圆的切线，T是切点，
求证：BE2＋CT2＝BC2.
证明：连接AE，AF，∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠AFB＝90°，
又∠CDB＝90°，∠ABF＝∠DBC，
∴△DBC∽△FBA，
∴＝，
即AB·BD＝BC·BF，
∵∠AEB＝90°，CD⊥AB，
∴BE2＝BD·AB(射影定理)．
∵CT是切线，CB是割线，
∴CT2＝CF·CB.
∴BC2－CT2＝BC2－CF·CB
＝BC(BC－CF)＝BC·BF，
∴BE2＝BC2－CT2，即BE2＋CT2＝BC2.
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