2021高考数学(福建-理)一轮作业：6.1-数列的概念及简单表示法.docx

§6.1 数列的概念及简洁表示法
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．数列{an}：1，－，，－，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝(－1)n＋1(n∈N＋)
B．an＝(－1)n－1(n∈N＋)
C．an＝(－1)n＋1(n∈N＋)
D．an＝(－1)n－1(n∈N＋)
解析 观看数列{an}各项，可写成：，－，，－，故选D.
答案　D
2．把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是由于这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．

则第七个三角形数是(　　)．
A．27 B．28 C．29 D．30
解析　观看三角形数的增长规律，可以发觉每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以依据这个规律计算即可．依据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
答案　B
3．对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　)．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　当an＋1＞|an|(n＝1,2，…)时，∵|an|≥an，
∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2＞|a1|不成立，即知：an＋1＞|an|(n＝1,2，…)不愿定成立．故综上知，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
答案　B
4．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是 (　　)．
A．103 B. C. D．108
解析　依据题意并结合二次函数的性质可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋，
∴n＝7时，an取得最大值，最大项a7的值为108.
答案　D
5．设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Πn，则Π2 011的值为(　　)
A．－ B．－1
C. D．2
解析：由a2＝，a3＝－1，a4＝2可知，数列{an}是周期为3的周期数列，从而Π2 011＝Π1＝2.
答案：D
6．已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是(　　)．
A．(5,5) B．(5,6) C．(5,7) D．(5,8)
解析　按规律分组
第一组(1,1)
其次组(1,2)，(2,1)
第三组(1,3)，(2,2)，(3,1)
则前10组共有＝55个有序实数对．
第60项应在第11组中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，(11,1)因此第60项为(5,7)．
答案　C
7.已知数列的前项和为，，，,则( )
A. B. C. D.
解析 由于，所以由得，，整理得，所以，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，选B.
答案　B
二、填空题
8．在函数f(x)＝中，令x＝1,2,3，…，得到一个数列，则这个数列的前5项是_____．
答案　1，，，2，
9．已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1an＋an＋1－2an＝0(n∈N*)，则a2＝________；并归纳出数列{an}的通项公式an＝________.
解析 当n＝1时，由递推公式，有a2a1＋a2－2a1＝0，得a2＝＝；
同理a3＝＝，a4＝＝，由此可归纳得出数列{an}的通项公式为an＝.
答案 　
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．
解析　∵Sn＝n2－9n，
∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，
a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，
∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8.
答案　8
11．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a16＝________.
解析　由题可知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列是以3为周期的周期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.
答案　
12．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)()n，则当an取得最大值时，n等于________．
解析：由题意知
∴
∴∴n＝5或6.
答案：5或6
三、解答题
13．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开头各项都是正数？
解析：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16，即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，
∴从第7项起各项都是正数．
14．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式．
解析　由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)，
解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1＞1，因此a1＝2.
又由an＋1＝Sn＋1－Sn
＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)，
得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.
因an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去．
因此an＋1－an－3＝0.
即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an＝3n－1.
【点评】 解决已知数列的前n项和Sn与通项an的关系，求通项an的问题，步骤主要有：,第一步：令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1；
其次步：令n≥2，构造an＝Sn－Sn－1，用an代换Sn－Sn－1(或用Sn－Sn－1代换an，这要结合题目的特点)，由递推关系求通项；
第三步：验证当n＝1时的结论是否适合当n≥2时的结论.假如适合，则统一“合写”；假如不适合，则应分段表示；
第四步：明确规范表述结论.
15．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，求an.
解析　由an＋1＝an＋2n－1，得an＋1－an＝2n－1.
所以a2－a1＝1，a3－a2＝2，
a4－a3＝22，
a5－a4＝23，
…
an－an－1＝2n－2(n≥2)，
将以上各式左右两端分别相加，得an－a1＝1＋2＋22＋…＋2n－2＝2n－1－1，
所以an＝2n－1(n≥2)，又由于a1＝1适合上式，故an＝2n－1(n≥1)．
16．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)推断数列{cn}的增减性．
解析　(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
∴bn＝
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＝＋＋…＋，
∴cn＋1－cn＝＋－
＝＜0，
∴{cn}是递减数列．