2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第8篇-第2讲-两条直线的位置关系.docx

第2讲两条直线的位置关系最新考纲1能依据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3把握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理 知 识 梳 理1两直线平行与垂直(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.特殊地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行(2)两条直线垂直假如两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直2两直线的交点直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有很多个解3距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|.特殊地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0(A，B不同时为0)的距离为d.可以验证，当A0或B0时，上式仍成立(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20(其中A，B不同时为0，且C1C2)间的距离d.辨 析 感 悟1对两条直线平行与垂直的理解(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，肯定有k1k2l1l2. ()(2)假如两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积肯定等于1.()(3)(2021天津卷改编)已知过点P(2,2)斜率为的直线且与直线axy10垂直，则a2.()2对距离公式的理解(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为. ()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(6)(教材习题改编)两平行直线2xy10,4x2y10间的距离是0.()感悟提升三个防范一是在推断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可依据判定定理推断，若直线无斜率时，要单独考虑如(2)中忽视了斜率不存在的状况；二是求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式，如(4)；三是求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相同，如(6).考点一两条直线平行与垂直【例1】 已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试推断l1与l2是否平行；(2)l1l2时，求a的值解(1)法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1，综上可知，a1时，l1l2，否则l1与l2不平行法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，l1l2a1，故当a1时，l1l2，否则l1与l2不平行(2)法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2；当a1且a0时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由1a.法二由A1A2B1B20得a2(a1)0a.规律方法 (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般状况，也要考虑到斜率不存在的特殊状况同时还要留意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在推断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论【训练1】 (2022长沙模拟)已知过点A(2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A10 B2 C0 D8解析l1l2，kAB2，解得m8，又l2l3，(2)1，解得n2，mn10.答案A考点二两条直线的交点问题【例2】 求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程解法一先解方程组得l1，l2的交点坐标为(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为，于是由直线的点斜式方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.法二由于ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1，l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10.法三由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0.其斜率，解得，代入直线系方程即得l的方程为5x3y10.规律方法 运用直线系方程，有时会给解题带来便利，常见的直线系方程有：(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mC)；(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0；(3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(其中R，此直线系不包括l2)【训练2】 直线l被两条直线l1：4xy30和l2：3x5y50截得的线段的中点为P(1,2)，求直线l的方程解法一设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(2x0,4y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为，即3xy10.法二设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由得x.由得x.则2，解得k3.因此直线l的方程为y23(x1)，即3xy10.考点三距离公式的应用【例3】 已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由解(1)直线l2：2xy0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d，所以，即，又a0，解得a3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)，若P点满足条件，则P点在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，且，即c或，所以2x0y00或2x0y00；若P点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于P在第一象限，所以3x020不行能联立方程2x0y00和x02y040，解得联立方程2x0y00和x02y040，解得所以存在P同时满足三个条件规律方法 (1)在应用两条平行直线间的距离公式时要留意两直线方程中x，y的系数必需对应相同(2)第(2)问是开放探究性问题，要留意解决此类问题的一般策略【训练3】 (1)已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为()A2x3y180B2xy20C3x2y180或x2y20D2x3y180或2xy20(2)已知两条平行直线，l1：mx8yn0与l2：2xmy10间的距离为，则直线l1的方程为_解析(1)由题意可知所求直线斜率存在，故设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或.所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.(2)l1l2，或当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成4x8y20，解得n22或18.故所求直线的方程为2x4y110或2x4y90.当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，l2的方程为4x8y20，解得n18或22.故所求直线的方程为2x4y90或2x4y110.答案(1)D(2)2x4y90或2x4y110 两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21. 若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率肯定要特殊留意思想方法10对称变换思想的应用【典例】 已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解(1)设A(x，y)，再由已知解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上设对称点为M(a，b)，则解得M.设m与l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线方程为9x46y1020.(3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.反思感悟 (1)解决点关于直线对称问题要把握两点：点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直(2)假如是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上【自主体验】(2021湖南卷)在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点光线从点P动身，经BC，CA反射后又回到点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A2 B1 C. D.解析以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得ABC的重心D，设APx，从而P(x,0)，x(0,4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC、AC的对称点P1(4,4x)，P2(x,0)与ABC的重心D共线，所以，求得x.答案D基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是()A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y80解析由题意知，直线l的斜率是，因此直线l的方程为y2(x1)，即3x2y10.答案A2(2022济南模拟)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a()A1 B2 C0或2 D1或2解析若a0，两直线方程分别为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0；当a0时，两直线若平行，则有，解得a1或2.答案D3已知直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，则直线l1与l2的距离为()A. B. C4 D8解析直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，即3x4y0，直线l1与l2的距离为.答案B4(2022金华调研)当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在()A第一象限 B其次象限C第三象限 D第四象限解析解方程组得两直线的交点坐标为，由于0k，所以0，故交点在其次象限答案B5若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点()A(0,4) B(0,2) C(2,4) D(4，2)解析直线l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)答案B二、填空题6若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_解析由得点(1,2)满足方程mx2y50，即m12250，m9.答案97设a、b、c分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线xsin Aayc0与bxysin Bsin C0的位置关系是_解析由，得bsin Aasin B0.两直线垂直答案垂直8若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是：15；30；45；60；75.其中正确答案的序号是_解析很明显直线l1l2，直线l1，l2间的距离为d，设直线m与直线l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|2，过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，则|AC|d，则在RtABC中，sin ABC，所以ABC30，又直线l1的倾斜角为45，所以直线m的倾斜角为453075或453015.答案三、解答题9已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交； (2)l1l2； (3)l1l2； (4)l1，l2重合解(1)由已知13m(m2)，即m22m30，解得m1且m3.故当m1且m3时，l1与l2相交(2)当1(m2)m30，即m时，l1l2.(3)当13m(m2)且12m6(m2)或m2m36，即m1时，l1l2.(4)当13m(m2)且12m6(m2)，即m3时，l1与l2重合10求过直线l1：x2y30与直线l2：2x3y80的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程解由解得l1，l2的交点为(1,2)，设所求直线方程为y2k(x1)，即kxy2k0，P(0,4)到直线的距离为2，2，解得k0或.直线方程为y2或4x3y20.力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1设两条直线的方程分别为xya0和xyb0，已知a，b是关于x的方程x2xc0的两个实数根，且0c，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为()A.， B.， C.， D.，解析d，ab1，abc，又|ab|，从而dmax，dmin.答案D2(2022武汉调研)已知A，B两点分别在两条相互垂直的直线2xy0与xay0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为()A11 B10 C9 D8解析由两直线垂直，得21，解得a2.所以中点P的坐标为(0,5)则OP5，在直角三角形中斜边的长度AB2OP2510，所以线段AB的长为10.答案B二、填空题3已知0k4，直线l1：kx2y2k80和直线l2：2xk2y4k240与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为_解析由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4k，直线l2的横截距为2k22，如图，所以四边形的面积S2k22(4k4)24k2k8，故面积最小时，k.答案三、解答题4(1)在直线l：3xy10上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)在直线l：3xy10上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小 图1 图1解(1)如图1，设点B关于l的对称点B的坐标为(a，b)，直线l的斜率为k1，则k1kBB1.即31.a3b120.又由于线段BB的中点坐标为，且在直线l上，310.即3ab60.解得a3，b3，B(3,3)于是AB的方程为，即2xy90.解得即l与AB的交点坐标为P(2,5) (2)如图2，设C关于l的对称点为C，求出C的坐标为.AC所在直线的方程为19x17y930，AC和l交点坐标为， 图2故Q点坐标为.