《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习-专题讲座二-创新性问题-轻松闯关.docx

1．(2021·吉林长春调研)对于非空实数集A，记A*＝{y|∀x∈A，y≥x}．设非空实数集合M，P满足：M⊆P，且若x>1，则x∉P.现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有P*⊆M*；
②对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有M*∩P≠∅；
③对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有M∩P*＝∅；
④对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必存在常数a，使得对任意的b∈M*，恒有a＋b∈P*，其中正确的命题是(　　)
A．①③　　　　　　　　 B．③④
C．①④ D．②③
解析：选C.对于②，假设M＝P＝，则M*＝，则M*∩P＝∅，因此②错误；对于③，假设M＝P＝，则∈M，又∈P*，则M∩P*≠∅，因此③也错误；而①和④都是正确的．
2．(2021·贵州省六校联考)给出定义：若x∈(其中m为整数)，则m叫做与实数x“亲热的整数”，记作{x}＝m，在此基础上给出下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的四个命题：①函数y＝f(x)在x∈(0，1)上是增函数；②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称；③函数y＝f(x)是周期函数，最小正周期为1；④当x∈(0，2]时，函数g(x)＝f(x)－ln x有两个零点．其中正确命题的序号是(　　)
A．②③④ B．①③
C．①② D．②④
解析：选A. 由函数定义可知当x∈时，f(x)＝|x－{x}|＝|x－0|；当x∈时，f(x)＝|x－{x}|＝|x－1|；
当x∈时，f(x)＝|x－{x}||x－2|；….可以作出函数的图象(如图)，依据函数的图象可以推断①错误，②③是正确的，④由函数的图象再作出函数y＝ln x，x∈(0，2]的图象，可推断有两个交点，故④也正确．

3．若有穷数列a1，a2，…，an(n是正整数)满足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{bn}是项数为7的“对称数列”，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1＝2，b4＝11，则{bn}的项为________．
解析：设数列b1，b2，b3，b4的公差为d，则b4＝b1＋3d＝2＋3d＝11，解得d＝3，所以数列{bn}的项为2，5，8，11，8，5，2.
答案：2，5，8，11，8，5，2
4．(2021·海淀区其次学期期中练习)已知向量序列：a1，a2，a3，…，an，…满足如下条件：
|a1|＝4|d|＝2，2a1·d＝－1且an－an－1＝d(n＝2，3，4，…)．若a1·ak＝0，则k＝________；|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…中第________项最小．
解析：由于an－an－1＝d，所以a2－a1＝d，a3－a2＝d，…，an－an－1＝d，利用叠加法可得an＝a1＋(n－1)d.由于a1·ak＝0，所以a1·[a1＋(k－1)d]＝0，a＋(k－1)a1·d＝0，即4＋(k－1)＝0，k＝9.又a＝a＋(n－1)2d2＋2(n－1)a1·d＝－(n－1)＋4＝(n－3)2＋3，所以当n＝3时，a取最小值，即|an|取最小值．
答案：9　3
5．(2021·海淀区其次学期期中练习)在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横、纵坐标都是整数的点)A(n)：A1，A2，A3，…，An与B(n)：B1，B2，B3，…，Bn，其中n≥3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段AiAi＋1⊥BiBi＋1，其中i＝1，2，3，…，n－1，则称A(n)与B(n)互为正交点列．
(1)求A(3)：A1(0，2)，A2(3，0)，A3(5，2)的正交点列B(3)；
(2)推断A(4)：A1(0，0)，A2(3，1)，A3(6，0)，A4(9，1)是否存在正交点列B(4)？并说明理由；
(3)∀n≥5，n∈N，是否都存在无正交点列的有序整点列A(n)？并证明你的结论．
解：(1)设点列A1(0，2)，A2(3，0)，A3(5，2)的正交点列是B1，B2，B3，
由正交点列的定义可知B1(0，2)，B3(5，2)，设B2(x，y)，由＝(3，－2)，＝(2，2)，＝(x，y－2)，＝(5－x，2－y)，
由正交点列的定义可知·＝0，·＝0，
即，解得，
所以点列A1(0，2)，A2(3，0)，A3(5，2)的正交点列是B1(0，2)，B2(2，5)，B3(5，2)．
(2)由题可得＝(3，1)，＝(3，－1)，＝(3，1)，
设点列B1，B2，B3，B4是点列A1，A2，A3，A4的正交点列，
则可设＝λ1(－1，3)，＝λ2(1，3)，＝λ3(－1，3)，λ1，λ2，λ3∈Z，
由于A1与B1，A4与B4相同，所以有
－λ1＋λ2－λ3＝9，①
3λ1＋3λ2＋3λ3＝1，②
由于λ1，λ2，λ3∈Z，方程②明显不成立，
所以有序整点列A1(0，0)，A2(3，1)，A3(6，0)，A4(9，1)不存在正交点列．
(3)∀n≥5，n∈N，都存在整点列A(n)无正交点列．
∀n≥5，n∈N，设＝(ai，bi)，其中ai，bi是一对互质整数，i＝1，2，3，…，n－1，
若有序整点列B1，B2，B3，…，Bn是点列A1，A2，A3，…，An的正交点列，
则＝λi(－bi，ai)，i＝1，2，3，…，n－1，
则有＝＝＝
①当n为偶数时，取A1(0，0)，ai＝3，bi＝，
i＝1，2，3，…，n－1.
由于B1，B2，B3，…，Bn是整点列，所以有λi∈Z，i＝1，2，3，…，n－1.
等式(**)中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以该点列A1，A2，A3，…，An无正交点列；
②当n为奇数时，
取A1(0，0)，a1＝3，b1＝2，ai＝3，bi＝，i＝2，3，…，n－1，
由于B1，B2，B3，…，Bn是整点列，所以有λi∈Z，i＝1，2，3，…，n－1.
等式(**)中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以该点列A1，A2，A3，…，An无正交点列．
综上所述，∀n≥5，n∈N，都存在无正交点列的有序整点列A(n).